湖北省十堰市丹江口市2022-2023学年九年级上学期期末试题数学试题（含答案）

湖北省十堰市丹江口市2022-2023学年九年级上学期期末试题数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列事件中，是必然事件的是（    ）

A．任意抛一枚硬币，正面朝上 B．打开电视机，正在直播新闻

C．任意13个人中有生肖相同的人 D．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光

【答案】C

【分析】直接利用随机事件和必然事件的定义逐一进行分析即可得到答案．

【详解】解：A、任意抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意，选项错误；

B、打开电视机，正在直播新闻，是随机事件，不符合题意，选项错误；

C、任意13个人中有生肖相同的人，是必然事件，符合题意，选项正确；

D、从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光，是随机事件，不符合题意，选项错误，

故选C．

【点睛】本题考查了随机事件和必然事件，正确把握相关定义是解题关键．

2．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）

A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．

【详解】解：由题意得：a﹣1≠0，

解得：a≠1．

故选A．

3．小宇利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　　）A．               B．               C．               D．

【答案】D

【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数解析式，进行验证．

【详解】∵和时，；

∴抛物线的对称轴为直线，

∴顶点坐标为，

设抛物线为，

把，代入得，

∴，

∴该二次函数解析式为，

当时，，

∴，错误．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进行验证，以确保判定的正确性．

4．把二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，则两次平移后的图象解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先把原解析式化为顶点式，再根据抛物线平移的性质，即可求解．

【详解】解：根据题意得：，

∵二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，

∴两次平移后的图象解析式是．

故选：A

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移的规律： “左加右减，上加下减”是解题的关键．

5．如图，A、B、C为上三点，， ，则的度数为（    ）度．

A．100 B．110 C．120 D．130

【答案】B

【分析】根据圆周角定理先求出，再利用平行四边形的性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解．

【详解】解：连接

，

，

，

，

，

，

，

为等腰三角形，

，，

，

故选：B

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质，求解是解决本题的关键．

6．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为(  )．

A．24 B．25 C．26 D．27

【答案】A

【分析】根据题意列方程并求解，即可得到答案．

【详解】根据题意得：

∴或（舍去）

∴

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，即可完成求解．

7．“黄金分割”广泛存在于人们生活实践中．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（参考数据：，，）

A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m

【答案】C

【分析】根据黄金分割比列方程直接进行求解．

【详解】解：设该雕像的下部设计高度为xm，由题意得：

，

解得：；

故选C．

【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．

8．如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（    ）度．

A．30 B．45 C．60 D．180

【答案】D

【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算．

【详解】解∶圆锥底面周长，

∴扇形的圆心角的度数圆锥底面周长．

故选D．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式．

9．如图，在中，点分别在边上，连接，若，，，，的面积为，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．无法求出

【答案】B

【分析】先根据条件可证得，利用三角形相似比可得到，，然后根据计算即可．

【详解】解：，

，，

，

，

，，

，

，

，，，

，

的面积为，

，，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．

10．如图，D，E分别是的中点，交于点F，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解．

【详解】解：如图，连接，

∵D，E分别是的中点，

∴，

∴，

∴．

故选：A

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题

11．方程的解为_______．

【答案】0或1

【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．

【详解】解：

或

解得：0或1，

故答案为：0或1．

【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．

12．已知二次函数的图象上有点，，，则、、的大小关系为_______．

【答案】##

【分析】根据函数的增减性或结合图象分析，比较函数值的大小即可．

【详解】解：∵二次函数中，

∴函数图像开口向上，对称轴为，

∴当时，y随x增大而增大

∵点关于对称轴的对称点的横坐标是，

∴，

∵

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质或根据函数的增减性，比较函数值的大小，数形结合思想使得解题更加便捷直观．

13．小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔，已知小明的身高是，他的影长是．则塔高______．

【答案】

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；

【详解】∵，

∴.

∵，

∴

∴

依题意

∴

∴,

解得：,

故答案为：16．

【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

14．一架飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________米才能停下来．

【答案】600

【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．

【详解】解：∵，

∴当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，

故答案为：600．

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．

15．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ___．

【答案】12

【分析】根据勾股定理求得，由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解．

【详解】解：在中，，AC＝4，BC＝6

∴

则阴影部分的面积

故答案为12

【点睛】此题考查了不规则图形的面积，涉及了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求解．

16．如图，，的两个锐角顶点分别在上滑动，直角顶点在内随之运动，若，则的最大值为___．

【答案】

【分析】取的中点，连接，根据直角三角形的性质可以得到的长度，最后根据三角形的两边之和大于第三边即可求得的最大值．

【详解】解：如图所示，取的中点，连接

∵，，，

∴，

∵在中，，

∴当三点共线的时候，有最大值，

即的最大值为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的两边之和大于第三边，根据题意做出辅助线是解题的关键．

三、解答题

17．解方程：．（用求根公式法）

【答案】，

【分析】根据一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，；

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法（公式法），熟记求根公式是解题的关键．

18．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，先从B点出发与成角方向走到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走到C处，在C处转，沿方向再走到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么河宽是多少米？

【答案】河宽为80米

【分析】根据已知条件证明，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

答：河宽为80米．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．

19．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．

【答案】竖彩条的宽度是3cm

【分析】设横彩条的宽度是xcm，则竖彩条的宽度是3xcm，根据彩条所占面积是图案面积的19%建立关于空白面积的一元二次方程求解即可．

【详解】设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则

（30﹣3x）（20﹣2x）＝20×30×（1﹣19%），

解得x1＝1，x2＝19（舍去）．

所以3x＝3．

答：竖彩条的宽度是3cm．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，灵活按照题意建立方程并求解是解题关键．

20．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据．

(1)补全表中的有关数据，并根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．

(2)估算袋中白球的个数；

(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出摸出一个黑球一个白球的概率．

【答案】(1)见解析，0.25

(2)3

(3)见解析，

【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；

（2）列用概率公式列出方程求解即可；

（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．

【详解】（1）解：，，，

补全表格如下：

根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是；

故答案为：

（2）解：设口袋中白球有x个，

∵从袋中摸出一个黑球的概率大约是，

∴，解得，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

所以估算袋中白球的个数为3；

（3）解：画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有6种结果，

所以两次都摸出白球的概率为．

【点睛】此题考查列表法和树状图法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ，不重不漏列出所有等可能的结果是解题的关键．

21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)方程的实数根是，，如果代数式，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．

【详解】（1）解：由题意得，，

解得，，

∴m的取值范围为；

（2）∵，，，

∴ ，

解得或（舍去），

∴m的值为．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及两根之和等于，两根之积等于．

22．如图，以的边为直径的半分别交，于点D，E，已知，过点D作于点F．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求和的长．

【答案】(1)见解析

(2)，

【分析】（1）连接，由题意易得，然后可得是的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；

（2）由（1）知，则根据勾股定理可得，然后根据等积法可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解．

【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵为的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是的中位线，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）解：由（1）知，

在中，由勾股定理得，，

由得，

；

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

23．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，其中．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．

(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？

(3)检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．

【答案】(1)

(2)排队等待人数最多时是121人

(3)人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况

【分析】（1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；

（2）设第x分钟时的排队等待人数为n人，根据及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得n关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；

（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第2分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可．

【详解】（1）（1）∵顶点坐标为，

∴设，

将代入，得：，

解得，

∴；

（2）设第x分钟时的排队等待人数为n人，

由题意可得：

，

∵，，

∴当时，n的最大值为121，

答：排队等待人数最多时是121人；

（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，

由题意得，，

整理得：，

解得：，（舍）．

答：人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．

【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．

24．已知，中，，D，E，F分别是边上的点，且，

(1)如图1，，D是的中点，则①与的数量关系是       ；②之间的数量关系是       ；

(2)如图2，，D是的中点，（1）中结论②是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图，，当绕点D旋转时，的值是否改变？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．

【答案】(1)①；②

(2)仍然成立，见解析

(3)不变，其值为

【分析】（1）①连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可；②根据，可得，从而得到，再由，即可；

（2）延长至G点，使，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可；

（3）根据题意可得，，可证明△ADE∽△CDF，即可．

【详解】（1）解：①如图，连接，

∵，D是的中点，，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

故答案为：

②∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）解：仍然成立．理由如下：

延长至G点，使，连接，

∵，

∴，

∵D是的中点，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）解：不变，其值为

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴△ADE∽△CDF，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得全等三角形和相似三角形是解题的关键．

25．如图，二次函数的图象与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，并且，D是抛物线的一个动点，轴于点F，交直线于点E．

(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式；

(2)在点D运动的过程中，试求使以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标；

(3)连接，在点D运动的过程中，抛物线上是否存在点D，使得以点D，C，E为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)D的坐标为或或；

(3)存在，或．

【分析】（1）先求得，，推出，利用待定系数法可求得二次函数的解析式，再利用待定系数法即可求得所在直线的解析式；

（2）只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，设点D的横坐标为t，则，，得到，解方程即可求解；

（3）分两种情况，当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，利用相似三角形的性质得到方程，解方程即可求解．

【详解】（1）解：令，则，

∴，，

∵，

∴，

由题意，将，代入，得

，解得，

∴二次函数的表达式为，

设线段所在直线的表达式为，

∴，解得，

∴所在直线的表达式为；

（2）解：∵轴，

∴，

只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形．

设点D的横坐标为t，则，，

，

由，

∴，或，

解之，得，

当时，，

当时，，

当时，，

∴D的坐标为或或；

（3）解：∵，

∴只有当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，

设，

则，，，，

①当时，如图，

，

解得，，

此时，D点坐标为，；

②当时，如图，

，

解得，，

此时，D点坐标为，，

综上，当以点D，C，E为顶点的三角形与相似时，点D的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．