浙江省湖州市南浔区2022-2023学年九年级上学期期末检测数学试题（含答案）

浙江省湖州市南浔区2022-2023学年九年级上学期期末检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列事件中，为必然事件的是（    ）

A．下周五的最高气温为 B．是实数，

C．打开电视机，正好在播世界杯足球赛 D．某跳高运动员的最好成绩是

【答案】B

【分析】根据事件的定义判断即可．

【详解】∵下周五的最高气温为是随机事件，

∴A不符合题意；

∵是实数，是必然事件，

∴B符合题意；

∵打开电视机，正好在播世界杯足球赛是随机事件，

∴C不符合题意；

∵某跳高运动员的最好成绩是是不可能事件，

∴D不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件即在每一次实验中一定不会发生的事件；必然事件即在每一次实验中一定会发生的事件是解题的关键．

2．二次函数的图象与轴的交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将代入函数解析式，求出相应的的值，即可．

【详解】解：当时，，

∴二次函数的图象与轴的交点坐标为．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解本题的关键是明确二次函数与轴的交点，就是求时对应的函数值．

3．若，则=（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】观察给出的条件与所求的式子，发现需要利用整体求值，不需要求出a、b的具体值，即可求出结果．

【详解】解：由题意得，；

∵，

∴．

故：选项为B．

【点睛】本题重点考查分式的化简求值，掌握解答的方法是关键．

4．己知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形公式，代入数据运算即可得出答案．

【详解】解：由题意得，，，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．

5．函数的图象向上平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．

【详解】解：把函数的图象向上平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为，即，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．

6．已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可．

【详解】∵两个相似多边形的面积之比是，

∴这两个相似多边形的相似比是，

故选A．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．

7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．

【详解】连接OB，

∵点B是的中点，

∴∠AOB＝∠AOC＝60°，

由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，

故选：A．

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

8．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可得，再根据相似三角形的判定方法依次分析各选项即可判断．

【详解】，

，

再补充，，，

可判定，

但补充无法判定 ．

故选：．

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；有两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似．

9．足球盛事，四年一次，2022世界杯在卡塔尔激烈开赛，王老师想要在班里组织一次足球赛庆祝世界杯，某位同学为这次足球赛设计了一个简单的图标．如图，已知这个图标由和正方形构成，正方形的两个顶点，在上，等腰内接于，，，最高点到边的距离，则这个的半径是（参考数据：．答案精确到0.1）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，．设圆的半径是，在直角中，，，求出，可列方程求得半径．

【详解】解：如图，连接，．设圆的半径是，

，

在直角中，，

∴

，过圆心

∴

∵是正方形

∴

∵

∴

解得：．

故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键，垂直于弦的直径平分这条弦．

10．如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ）

A． B． C．9 D．5

【答案】B

【分析】根据可求出，，从而可求出，，进而可得出：，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．

【详解】解：对于，当时，，

解得：，

∴．

∵，

∴．

由题意可知，，

∴可设：，

将代入，得：，

解得：，

∴．

由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，

∵，

∴m的值等于时的纵坐标，

∴．

故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数与几何变换等知识，解题的关键是在于能根据函数图象发现规律：m的值等于时的纵坐标．

二、填空题

11．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为______．

【答案】

【分析】直接利用概率公式计算可得．

【详解】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，

∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

12．已知二次函数，当时，____________．

【答案】10

【分析】把代入计算即可．

【详解】把代入，得

，

故答案为：10．

【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．

13．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是____________．

【答案】##度

【分析】连接，根据正五边形的性质得出，然后根据圆周角定理即可求解．

【详解】解：如图，连接，

∵正五边形内接于，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键．

14．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则OC的长为___．

【答案】6

【分析】连接．利用垂径定理求出，再勾股定理求解即可．

【详解】解：如图，连接．

，

，

，，

，

故答案为：6．

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

15．“今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，问：出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，正方形城池，城墙长200步，东门点、南门点分别是，的中点，，，步，经过点，则____________．

【答案】##

【分析】根据正方形性质，得到，结合，得到，根据，可证明，列出比例式计算即可．

【详解】∵四边形是正方形，长200步，东门点、南门点分别是，的中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．

16．如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为____________．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是____________．

【答案】     120    

【分析】由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度．

【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，

∴．

∴，

即点A离地面的高度为120 ．

如图，连接并延长，交于点Q，则．

∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，

∴，，

∴，

∴，

即，

解得．

在中，由勾股定理，得

，

即点A到地面的高度是．

故答案为：120，．

【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键．

三、解答题

17．如图，已知，，．

(1)求的值；

(2)若，求的长．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；

（2）根据的值代入求解即可．

【详解】（1）∵

∴

（2）∵，

∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．

18．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．

（1）小明从A测温通道通过的概率是________；

（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．

【答案】(1) ;(2) ．

【分析】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．

(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．

【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，

故答案为：．

(2)由题意画出树状图：

由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．

【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．

19．如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，，半径，垂足为点．

(1)求的度数；

(2)若，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据圆的性质，证明，即可得到．

(2)利用弧长公式计算即可．

【详解】（1）∵是的直径，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）．

【点睛】本题考查了圆的性质，平行线的判定和性质，弧长公式，熟练掌握圆的性质和弧长公式是解题的关键．

20．如图，正方形中，，E是上一点，过E作交于点F，连接．

(1)证明：．

(2)当时，求的长．

【答案】(1)见解析；

(2)2．

【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，求证即可；

（2）根据相似三角形的性质，求解即可．

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．

21．在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下：

步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，；

步骤二：绘制函数；

步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．

问题：如图2，将点移动到点的位置．

(1)若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴；

(2)在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，B或或或

【分析】(1)根据题意，确定a，b的值，结合对称轴为直线计算即可．

(2)根据题意，确定，结合抛物线与x轴只有一个交点，得到，分点B、C在点A同侧和异侧两种情形求解即可．

【详解】（1）由题意知，，

∴对称轴为直线．

（2）∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴，

∵，

∴，

当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时，

则，

∴

解得或，

∴B点坐标为或

②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点，

则，，

∴

解得或，

∴B点坐标为或．

综上， B或或或．

【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与x轴交点，根的判别式是解题的关键．

22．古镇景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．试销售期间发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1)求与的函数关系式；

(2)若每天销售所得利润记为元，请求出与的函数关系式；

(3)若要保证利润不低于1200元，销售单价至少定为多少元?

【答案】(1)

(2)

(3)至少定价为50元

【分析】(1)根据待定系数法计算确定即可．

(2)根据利润=单件利润×数量，计算确定即可．

(3)根据利润，建立一元二次方程，计算确定即可．

【详解】（1）设，

则，

解得

∴．

（2）由题意得：

．

（3）当利润为1200元时，

，

解得：，，

由二次函数的性质和已知可得，，

∴至少定价为50元．

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数解析式的确定，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的应用是解题的关键．

23．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点是抛物线上的一个动点，连接和．

(1)求的值和的度数；

(2)当点运动到抛物线顶点时，求与的面积之比；

(3)如图2，当点在抛物线上运动，且满足时，求点的坐标．

【答案】(1)，

(2)

(3)，

【分析】(1)把线段长转化为点的坐标，后根据一元二次方程确定点A的坐标，再根据线段的长度计算角的度数．

(2)先确定B、P的坐标，计算AB的长度，根据三角形面积公式计算各自的面积，求得比值即可．

(3) 如图，这样的点P有两个.过点B作交于点D，过点D作轴于点E，过点作轴于点F．证明 ，，列式计算即可．

【详解】（1）解∵，

∴，代入，

得：，

解得；

令，有，

解得或，

∴，，

∴，

∴．

（2）∵，，

∴，，

∴顶点P坐标为，

，，

．

（3）解如图，这样的点P有两个.过点B作交于点D

过点D作轴于点E，过点作轴于点F．

∵，

∴是等腰直角三角形．

∴，

∴，．

设，则，，

所以，．

∴，．

∵，

∴，

∴，

化简得，，即，

解得，取，

∴，

根据对称性可知，．

综上所述P的坐标为，．

【点睛】本题考查了解析式的确定，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握抛物线的性质，灵活掌握三角形的全等与相似是解题的关键．

24．如图1，已知中，，，，点在上，连结，作，交的外接圆于点，连结和．

(1)求证：．在思考的过程中，小浔同学得到了如下思维分析图：

请根据上述思维分析图，写出完整证明过程．

(2)如图2，若点是中点．

①当时，求的长；

②是否存在的值，使得恰好是的直径，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)①；②存在，

【分析】（1）根据，可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求证；

（2）①根据勾股定理求出的长，可得，从而得到，再证明，即可求解；②先证明四边形是矩形，可得，，

再由，可得，然后在中，根据勾股定理，即可求解．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴．

（2）①解：∵，，，

∴，

∵点D是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴是直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

②解：∵是直径，

∴，

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，，

∵，

∴，∴，

∴，

∴在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查了圆的综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．