数学七年级下册第10章 二元一次方程组10.5 用二元一次方程解决问题一课一练

10.5  用二元一次方程组解决实际问题（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．如图，把一个长为，宽为的长方形分成五块，其中两个大长方形和两个大正方形分别相同，则中间小正方形的边长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

可以设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据大长方形的长为26cm，宽为14cm可以得到一个方程组，解得y，即可得小正方形的边长．

【详解】

解：设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据题意得：

，

解得：，

故小正方形的边长为6cm．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

2．如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们査阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（    ）

A．36本 B．38本 C．40本 D．42本

【答案】C

【分析】

设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，根据题意列出方程组，求出解，再分别计算出按竖放和按平放两种方式所摆书的数量，比较即可．

【详解】

解：设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，

由题意可得：

，

解得：，

∴每本书的厚度为1.5cm，宽度为22cm，

若按竖放：34+9÷1.5=40本，

若按平放：2×（16+6÷1.5）=40本，

∴最多能摆40本，

故选C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据图形得到等量关系，列出方程组．

3．春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由题意得等量关系：两种糖果混合成的什锦糖；36元/kg的糖果的费用＋20元/kg的糖果的费用＝100kg×28，即可得出方程组．

【详解】

解：设需要36元/kg的糖果，20元/kg的糖果，由题意得：

．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

4．自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（    ）

A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米

【答案】B

【分析】

设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．

【详解】

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为，

又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有

，

两式相加，得，

则x+y=2400，

∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶2400千米．

故选：B．

【点睛】

本题考查了应用类问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

5．在长方形中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如    图所示，则小长方形的宽的长度为（      ） cm ．

A．1 B．1.6 C．2 D．2.5

【答案】C

【分析】

设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则AD=x+3y，AB=x+y=6+2y，联立构造方程组求解即可．

【详解】

设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则AD=x+3y，AB=x+y=6+2y即x-y=6，

根据题意，得

，

解得，

即AE=2，

故选C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，合理引进未知数，列出正确的方程组是解题的关键．

6．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司计划正好用190万元购买，两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），其中型汽车进价为20万元/辆，型汽车进价为30万元/辆，则，型号两种汽车一共最多购买（   ）

A．9辆 B．8辆 C．7辆 D．6辆

【答案】A

【分析】

设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，列出二元一次方程，根据m，n的实际意义，分别求出m，n的对应值，即可求解．

【详解】

设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，

∵两种型号的汽车均购买，

∴m≥1，n≥1，且m，n均为整数，

由题意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，

∴1≤n≤5，

又∵2m为偶数，则3n为奇数，

∴n为奇数，即：n=1，3，5，

当n=1时，m=8，

当n=3时，m=5，

当n=5时，m=2，

∴，型号两种汽车一共最多购买9辆．

故选Ａ．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．

二、填空题

7．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为_______ 钱

【答案】150

【分析】

设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，

依题意，得：，

解得：．

故答案为150.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是__________．

【答案】439

【分析】

设原来数的百位数为x，十位数与个位数组成的两位数为y．由题意得可得方程组 ，解方程组求得x=4，y=39，由此即可得原来的三位数为439．

【详解】

设原来数的百位数为x，十位数与个位数组成的两位数为y．

由题意得：

把②代入①可得：

100x+9x+3-45=10+x

109x-42=90x+30+x

18x=72

x=4

把x=4代入②可得：y=39

即：原来的三位数为439．

故答案为：439．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解决问题的关键．

9．元旦节前，某商店购进了一批A、B款式的大灯笼和若干小灯笼，其中小灯笼个数占灯笼总个数的80%，它们的进价之比为10：20：1，店主将三种灯笼分别加价50%、40%、100%进行销售，全部售完后利润率为54%．年关将至，该商店又购进了这三种灯笼，且进货量和之前分别相同，但是A、B款式的大灯笼进价分别上涨了50%、25%，小灯笼进价不变，于是店主将这两种大灯笼的价格分别在现在的进价基础上加价60%、40%进行销售，且购买一个A款式的大灯笼赠送两个小灯笼，购买一个B款式的大灯笼赠送4个小灯笼，余下的小灯笼售价与之前相同，那么这批灯笼卖完后，利润率为_____．

【答案】41.6%

【分析】

首先根据题意得出c与a，b的关系，然后根据利润率的公式求出a与b的关系，最后根据第二次销售列出利润率，然后把之前得到的两个式子代入即可得到结果．

【详解】

解：设A款打灯笼有a个，B款大灯笼由b个，小灯笼有c个，

则由题意得：c＝（a＋b＋c）×0.8，

即c＝4（a＋b）①，

设它们的进价分别为10y，20y，y，

由题意得：，

将c＝4（a＋b）代入得：a＝b②，

在第二次购买销售中，由题意得，

它们的进价为：15y，25y，y，

利润率＝，

将①，②代入上式得：

利润率＝41.6%．

故答案为：41.6%．

【点睛】

本题主要考查了利润率计算，准确分析计算是解题的关键．

10．已知，满足方程组，则的值是_____．

【答案】30

【详解】

将因式分解成3，整体代入进行计算即可．

【解答】

解：，

，

，

把代入得，

原式，

．

故答案为：30．

【点睛】

本题考查平方差公式的应用，代数式求值，二元方程组，解题关键在于能够将式子正确分解．

三、解答题

11．为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的两种类型的分类垃圾桶的数量和总价如下表所示．

（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？

（2）求a，b的值．

【答案】（1）甲型垃圾桶的单价是160元/套，乙型垃圾桶的单价是260元/套；（2）a的值为7，b的值为6．

【分析】

（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答．

（2）根据图表中的数据列出关于a、b的二元一次方程，结合a、b的取值范围来求它们的值即可．

【详解】

解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．

依题意得：

解得，

答：甲型垃圾桶的单价是160元/套，乙型垃圾桶的单价是260元/套；

（2）由题意得：，

整理，得8a+13b=134，

因为a、b都是正整数，

所以 ，

答：a的值为7，b的值为6．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程（组）．

12．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如下表：

（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？

（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有几种租车方案？请说明理由．

【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种，理由见解析

【分析】

（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案．

【详解】

解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，

依题意，得：，

解得：，

答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．

（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，

依题意，得：2a+3b=20，

∴a=10-b，

∵a，b均为非负整数，

∴b为偶数，

∴当b=0时，a=10；

当b=2时，a=7；

当b=4时，a=4；

当b=6时，a=1．

∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．

13．李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有和两种款式的瓷砖，且款正方形瓷砖的边长与款长方形瓷砖的长相等，款瓷砖的长大于宽，已知一块款瓷砖和一块款瓷砖的价格和为140元；3块款瓷砖价格和4块款瓷砖价格相等．请回答以下问题：

（1）分别求出每款瓷砖的单价；

（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且款瓷砖的数量比款多，则两种瓷砖各买了多少？

（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若款瓷砖的用量比款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则款瓷砖的宽为________米．（直接写出答案）

【答案】（1）A款瓷砖单价为80元，B款瓷砖单价为60元；（2）买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；（3）米或米

【分析】

（1）设款瓷砖单价为元，款瓷砖单价为元，则，解方程组即可得出结果；

（2）设款瓷砖买了块，款瓷砖买了块，且，则，即，由，为正整数，且，即可得出结果；

（3）设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，则，解得，由题意知是正整数，设为正整数），解得，将为正整数代入即可得出结果．

【详解】

解：（1）设款瓷砖单价为元，款瓷砖单价为元，

则，

解得：；

答：款瓷砖单价为80元，款瓷砖单价为60元．

（2）设款瓷砖买了块，款瓷砖买了块，且，

则，

即：，

，为正整数，且，

时，；时，；

答：买了11块款瓷砖，2块款瓷砖或8块款瓷砖，6块款瓷砖；

（3）设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，

则，

解得：，

由题意得：是正整数，

设为正整数），

解得：，

当时，，舍去）；

当时，，舍去）；

当时，；

当时，．

故答案为：米或米．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．

14．如图，长方形中，，，放入一个边长为6的正方形和两个边长都为3的正方形及正方形，，，分别表示对应阴影部分的面积．

（1）________，________，________；（结果用含或的代数式表示）

（2）若，求长方形的周长；

（3）若，且比长1，求长方形的面积．

【答案】（1）x-6；9-y；y-3；（2）30；（3）

【分析】

（1）根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示各线段便可；

（2）根据S2=S3，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得x+y便可；

（3）设长方形ABCD的长为y，宽为x，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S1+3S2=5S3，且AD比AB长1，可求得x、y的值，再长方形ABCD的面积．

【详解】

解：（1）NH=CD-DN-CH=x-3-3=x-6，

KG=AG+DK-AD=6+3-y=9-y，

BJ=BC-CJ=y-3，

故答案为：x-6；9-y；y-3；

（2）∵S2=S3，

∴（9-x）（9-y）=（x-6）（y-6），

∴x+y=15，

∴长方形ABCD的周长=2（x+y）=30；

（3）∵2S1+3S2=5S3，且AD比AB长1，

∴，

解得，，

∴长方形ABCD的面积==．

【点睛】

本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键．