苏科版七年级下册第12章 证明12.1 定义与命题课后练习题

12.1  定义与命题（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若，则是的中点，其中真命题的个数是（  ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】

根据对顶角的性质对(1)进行判断；根据平行线的性质对(2)进行判断；根据线段公理对(3)进行判断；根据线段的中点定义对(4)进行判断．

【详解】

对顶角相等，所以(1)正确；

两直线平行，同位角相等，所以(2)错误；

两点之间的线段最短，所以(3)正确；

当点O在线段AB上，若OA=OB，则点O是AB的中点，所以(4)错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2．下列命题中，真命题有（    ）

①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；

③如果a•b＝0，那么a＝b＝0；

④如果a＝b，那么a3＝b3

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

根据等式的传递性、点到直线的距离的概念、有理数的乘法法则、幂的乘方运算法则进行判断即可．

【详解】

解：①如果a＝b，b＝c，那么a＝c，说法正确，是真命题；

②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，说法错误，是假命题；

③如果a•b＝0，那么a=0或b=0或a＝b＝0，说法错误，是假命题；

④如果a＝b，那么a3＝b3，说法正确，是真命题，

真命题的有2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及点到直线的距离的概念、有理数的乘法、幂的乘方运算等知识，判断命题的真假的关键是熟悉相关知识的概念及性质．

3．下列命题是真命题的（    ）

A．无理数的相反数是有理数

B．如果ab＞0，那么a＞0，b＞0

C．内错角相等，两直线平行

D．若|a|＝1，则a＝1

【答案】C

【分析】

根据有理数的性质、平行线的性质、绝对值的意义判断即可．

【详解】

解：A、无理数的相反数是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、如果ab＞0，那么a、b同号，故原命题错误，不符合题意；

C、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；

D、若|a|＝1，则a＝±1，故原命题错误，不符合题意，

故选：C．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有理数的性质、平行线的性质、绝对值的意义，难度不大．

4．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（      ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【分析】

若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．

【详解】

解：本题可分三种情况：

①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；

②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；

③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．

在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．

故选D．

【点睛】

此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除．

5．下列四个命题中，假命题有（     ）

（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等．

（2）如果和是对顶角，那么．

（3）一个锐角的余角一定小于这个锐角的补角．

（4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】

按照命题的条件，结论，进行推理计算，或与定理，定义，法则对照，进行判断即可.

【详解】

∵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，

∴（1）是假命题；

∵对顶角相等，

∴（2）是真命题；

设锐角为x，则其余角为90°-x，补角为180°-x，

∴（90-x）-（180-x）=90°-x-180°+x=-90＜0，

∴（3）是真命题；

∵和互余，与的余角互补，

∴+=90，+（90-）=180，

∴+=180，

∴（4）是真命题；

故选A.

【点睛】

本题考查了对命题的真伪的甄别，解答时，熟练掌握数学的基本概念，基本定理，基本法则，基本性质是解题的关键.

6．下列命题是真命题的是（    ）

A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0和1

B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1

C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1

D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0

【答案】C

【分析】

根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．

【详解】

A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，故A是假命题；

B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，例如：-1的倒数也是-1，故B是假命题；

C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1，故C是真命题；

D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的算术平方根也是1，故D是假命题；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．

二、填空题

7．用一组的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ___________．（按的顺序填写）

【答案】2，1，-1（答案不唯一）

【分析】

根据题意选择a、b、c的值即可．

【详解】

解：当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，2＞1，而2×（﹣1）＜1×（﹣1），

∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，

故答案为：2，1，-1（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了命题与定理，不等式的性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

8．证明“若，则．”是假命题，可举出反例：_________．

【答案】答案不唯一，例如当，但

【分析】

可根据、的正负性来考虑即可，例如用、来进行判断即可．

【详解】

反例：取，，有，但．

故答案为：，，，但．

【点睛】

本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．

9．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题

【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角    真   

【分析】

找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假．

【详解】

命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，

则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，

由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，

故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真．

【点睛】

本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键．

10．用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是______.（写出一个即可）

【答案】0（答案不唯一）

【分析】

根据题意找到一个使得命题不成立的m的值即可．

【详解】

解：当m=0时，2m2-5=-5，m2-1=-1，
此时2m2-5＜m2-1，
故答案为：m=0（答案不唯一）

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大．

三、解答题

11．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．

（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题?

（2）写出一个真命题，并证明．

【答案】（1）3个；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用命题的定义进而得出答案；
（2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案．

【详解】

（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．

（2）以上3个命题都是真命题．

(i)∵∠AFE=∠FED，

∴b∥c，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠ABD+∠BDC=180°，

∴m∥n；

(ii)∵∠AFE=∠FED，

∴b∥c，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∵m∥n，

∴∠ABD+∠BDC=180°，

∴∠BAC=∠BDC；

(iii)∵m∥n，

∴∠ABD+∠BDC=180°，

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∴b∥c，

∴∠AFE=∠FED．

【点睛】

本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

12．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．

（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．

（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；

（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）如果①②③，那么④，正确；

如果①②④，那么③，正确；

如果①③④，那么②，正确；

如果②③④，那么①，正确；

（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，

求证：EF平分∠BED．

证明：∵AC∥DE，

∴∠BCA=∠BED，

即∠1+∠2=∠4+∠5，

∵DC∥EF，

∴∠2=∠5，

∵CD平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

∴∠4=∠5，

∴EF平分∠BED．

【点睛】

本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

13．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．

（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．

小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．

请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．

证明：∵EFCD（已知）

∴∠BEF＝　　（　　）

∵∠B+∠BDG＝180°（已知）

∴BC　　（　　）

∴∠CDG＝　　（　　）

∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）

（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．

①条件：　　，结论：　　（填序号）．

②证明：　　．

【答案】（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析

【分析】

（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．

【详解】

（1）证明：∵EF∥CD（已知），

∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），

∵∠B+∠BDG＝180°（已知），

∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），

∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；

（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，

结论：DG平分∠ADC，

②证明：∵DG∥BC，

∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，

∵∠B＝∠BCD，

∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．

故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；

【点睛】

本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．

14．真假命题的思考.

一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②若，则

③若和的两边所在直线分别平行，则.

小明和小丽对话如下，

小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”

小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”

（1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题.

（2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例.

【答案】（1）见解析   （2）见解析

【分析】

是假命题，②是假命题，③是假命题；

【详解】

解：（1）命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题，

即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；

（2）命题②为假命题，举反例如下：当，时，，但.

命题③为假命题，举反例如下：

和的两边所在直线分别平行，如图，但.

【点睛】

本题考查了命题的相关知识；熟练掌握命题的定义及涉及到的相关知识是解题的关键