6.8 三角坐标法破解可变二面角问题 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第8节  三角坐标法破解可变二面角问题

（新高考、理科专用）

知识与方法

如下图所示，设二面角的平面角为，记，，则点A的坐标为，在很多二面角可变或未知的情形下，可以像这样将动点的坐标设成三角的形式，参与后续的运算.

典型例题

【例题】如下图所示，三棱锥中，是边长为2的正三角形，，若二面角的大小为60°，则三棱锥的体积为_______.

变式1  如下图所示，三棱锥中，是边长为2的正三角形，，若三棱锥的体积为1，则二面角的大小为______.

变式2  如下图所示，三棱锥中，是边长为2的正三角形，，E、F分别是、的中点，若，则三棱锥的体积为_______.

变式3  如下图所示，三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，且直线与平面所成的角的正弦值为.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

变式4  如下图所示，三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为_______.

强化训练

1.（★★★）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，若直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为______.

2.（★★★★）如下图所示，四棱锥中，底面是梯形，，，，E、F分别为、的中点，若，则四棱锥的体积为_______.

3.（★★★★）如图1，矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为______，设二面角的平面角为，当时，的长的取值范围是______.

4.（2012·浙江·★★★★）已知矩形中，，，将沿对角线所在的直线翻折，在翻折过程中（    ）

A.存在某个位置，使得直线与直线垂直

B.存在某个位置，使得直线与直线垂直

C.存在某个位置，使得直线与直线垂直

D.对任意位置，三直线“与”，“与”，“与”均不垂直

5.（★★★★）如下图所示，三棱柱中，是边长为2的正三角形，.（1）证明：；

（2）若三棱柱的体积为3，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

6.（★★★★）正方形的边长为2，E、F分别为边、的中点，M为线段的中点，将正方形沿折起，得到如下图所示的二面角.

（1）直线与平面相交于点O，试确定点O的位置，并证明平面；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求二面角的大小.