5.6 错位相减法求前n项和 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第6节  错位相减法求前n项和知识与方法设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了.典型例题【例题】已知，求数列的前n项和.【解析】解法1：，，两式作差得：，所以.解法2：由题意，，所以可设，又，，所以，解得：，故.【反思】上面的解法2不能作为正式作答的书写方法，操作的时候可以草稿纸上这样算，卷面上按解法1的格式来写，详情请参考本节视频.变式  已知，求数列的前n项和.解法1：当时，，当时，，两式作差得：，即，显然也满足上式，所以.解法2：设，数列的前n项和为，则，两式作差得：，故，注意到数列与仅首项不同，，，所以.强化训练1.（★★★）设为数列的前n项和，且（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【解析】（1）由题意，，故，当时，，所以，故，从而是等比数列，所以.（2），所以两式作差得： ，所以.2.（★★★）已知数列和满足，，，.（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）设，求数列的前n项和.【解析】（1）由题意，，所以，又，所以是等比数列，首项为1，公比为，所以，故，所以是等差数列，首项为，公差为2.（2）由（1）知，，故，所以，两式作差得：，所以.3．（★★★★）已知，求数列的前n项和.解法1：当时，，当时，两式作差得：，即，显然也满足上式，故.解法2：设，的前n项和为，则两式作差得：故，注意到与仅首项不同，，，故.4.（★★★★）设等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前n项和为，证明：.【解析】因为，所以当时，，故，所以，因为是等比数列，所以其公比为3，在中取可得，而，所以，从而，故.（2）由题意，，所以，从而，所以，故，所以.