8.1 通径公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第8章  圆锥曲线方程第1节  通径公式知识与方法1．椭圆的通径公式：如图1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通径的长.2．双曲线的通径公式：如图2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，通径的长3．抛物线的通径公式：如图3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径，通径的长.典型例题【例1】椭圆的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，则=_________.【解析】由通径公式，【答案】2变式1  椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆C上，且的中点在y轴上，则_________.【解析】如图，设的中点为M，又O为的中点，所以是的中位线，故，因为轴，所以轴，从而， 易求得，所以.【答案】变式2  椭圆的右焦点为F，上、下顶点分别为M、N，过F且与x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，则以A、B、M、N为顶点的四边形的面积为_________.【解析】如图，四边形为等腰梯形，由通径公式，，显然，梯形的高，所以梯形的面积.【答案】变式3  椭圆的左焦点为F，右顶点为A，过F且与x轴垂直的直线与椭圆C的一个交点为B，若直线的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为_________.【解析】如图，直线的倾斜角为，所以，从而，两端同除以可得：，所以，解得：或（舍去）【答案】【例2】双曲线的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，则 _________.【解析】由通径公式，.【答案】变式1  双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴重直的直线交双曲线C于A、B两点，则的面积为_________.【解析】如图，由题意，，由通径公式，，所以.【答案】变式2  双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一个交点为B，若，则双曲线C的离心率为_________.【解析】如图，由题意，，所以，从而，所以双曲线C的离心率.【答案】【例3】抛物线的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交抛物线C于A、B两点，则_________.【解析】由通径公式，.【答案】6变式1  已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，则的面积为_________.【解析】如图，由题意，，所以，由通径公式，，故，因为，所以，而，所以.【答案】5变式2  （2021·新高考I卷）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且.若，则C的准线方程为_________.【解析】如图，，将代入解得：，不妨设，，因为，所以，解得：，故抛物线C的准线方程为.解法2：如图，由题意，，，由抛物线的通径公式可得所以直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，从而，又，所以，解得：，故抛物线C的准线方程为【答案】变式3  （2021·天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A、B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（    ）A. B. C.2 D.3【解析】如图，设双曲线的右焦点为，则该点也是抛物线的焦点，所以抛物线的准线为，故是双曲线的通径，由通径公式，，联立解得：，所以，因为，所以，从而，不妨取，，则，故.【答案】A 强化训练1.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，若的面积为，则椭圆C的离心率为_________.【解析】如图，，由通径公式，，所以，由题意，，所以椭圆的离心率.【答案】2.（★★）已知抛物线的焦点为F，O为原点，点P在抛物线C上且轴，则直线的斜率为_________.【解析】如图，由通径公式，，又，所以直线的斜率.【答案】23.（★★）已知双曲线的上焦点为F，过F且与y轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，若，则双曲线C的渐近线方程为_________.【解析】由通径公式，，又，所以，从而，故离心率.【答案】4.（★★★）已知抛物线的焦点F也是双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过F，则该双曲线的离心率为_________.【解析】如图，设双曲线的半焦距为c，由题意，，，消去p化简得：，所以，从而，故，解得或（舍去）.【答案】5.（2017·新课标Ⅰ卷·★★★）已知F是双曲线的右焦点，P是C上一点，且与x轴垂直，点A的坐标是，则的面积为（    ）A. B. C. D.【解析】由题意，，由通径公式，，所以.【答案】D2020·新课标Ⅰ卷·★★★）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若的斜率为3，则C的离心率为_________.【解析】如图，由通径公式，，又直线的斜率为3，所以，从而，故，所以，故双曲线的离心率.【答案】2