中考数学专题复习全攻略：第二节 与圆有关的位置关系 含解析答案

第二节 与圆有关的位置关系

知识点一：与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系 

设点到圆心的距离为d.

(1)d<r ⇔点在⊙O内；

(2)d＝r ⇔点在⊙O上；

(3)d>r⇔点在⊙O外 ． 

2.直线和圆的位置关系

变式练习1：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.

变式练习2： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( A )

A．相交  B．相切  C．相离  D．不能确定

知识点二 ：切线的性质与判定

1.切线的判定 

（1）与圆只有一个公共点 的直线是圆的切线（定义法）.

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

变式练习：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝________．

【解析】如解图，连接OB，∵AB为⊙O的切线，点B是切点，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠BOA＝50°，∴∠C＝25°.

2.切线的性质 

（1）切线与圆只有一个公共点.

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.

（3）切线垂直于经过切点的 半径. 

3.切线长 

（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

变式练习1：如图，AB、AC、DB是⊙O的切 线，P 、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.

变式练习2：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

(1)求证：∠BCA＝∠BAD；

(2)求DE的长；

(3)求证：BE是⊙O的切线．

 (1)证明：∵BD＝BA，

∴∠BDA＝∠BAD.

又∵∠BDA＝∠BCA，

∴∠BCA＝∠BAD;

(2)解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠CBA＝90°.

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC＝＝＝13，

∵∠CBA＝∠E＝90°， ∠BDC＝∠BAC，

∴△ACB∽△DBE，

∴＝，

∴DE＝＝；

(3)证明：如解图，连接OB，则OB＝OC，

第4题解图

∴∠OBC＝∠OCB，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

又∵∠BCE＋∠BCD＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD，

由(1)知∠BCA＝∠BAD，

∴∠BCE＝∠BCA，

又∵∠BCA＝∠OBC，

∴∠BCE＝∠OBC，

∴OB∥DE.

∵BE⊥DE，

∴OB⊥BE，

∵OB为⊙O的半径，

∴BE是⊙O的切线.

变式练习3： 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.

(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．

(1)证明：连接CO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠FAB，∴∠CAE＝∠OAC，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线　

(2)解：连接BC，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠CEA，∵∠CAE＝∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴＝，∴＝，∴AB＝5，∴AO＝2.5，即⊙O的半径为2.5.

变式练习4： 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( D )

A．70°  B．35°  C．20°  D．40°

知识点四 ：三角形与圆

1.三角形的外接圆图形 

（1）相关概念：经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形             

（2）圆心的确定：三角形三条垂直平分线的交点 

（3）外心的性质：到三角形的三个顶点的距离相 等

2.三角形的内切圆 

（1）相关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形             

（2）圆心的确定：到三角形三条角平分线的交点 

（3）内心的性质：到三角形的三条边的距离相等

3.内切圆半径与三角形边的关系：

（1）任意三角形的内切圆（如图1），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.

（2）直角三角形的内切圆（如图2）

  若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.

变式练习1：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.

,第2题图)

变式练习2：如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B )

A．△ACD的外心  B．△ABC的外心

C．△ACD的内心  D．△ABC的内心

变式练习3： 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__.

,第3题图)　

知识点五 ：圆和圆的位置关系   

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）

两圆内切d=R-r（R>r）

两圆内含d<R-r（R>r）

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

变式练习：如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是__8_cm__．