中考数学专题复习全攻略：第四节 二次函数的图象与性质 含解析答案

这是一份中考数学专题复习全攻略：第四节 二次函数的图象与性质 含解析答案，共10页。试卷主要包含了一次函数的定义，解析式等内容，欢迎下载使用。
第四节  二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式       1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 变式练习：如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B，C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示) 解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x＝2，可得解得∴抛物线解析式为y＝x2－4x－5(2)由A点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知AB＝6，∴OB＝5，∴B点坐标为(5，0)，∵y＝x2－4x－5，∴C点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC，则△OBC是直角三角形， ∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，∴BC＝5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π()2＝π 知识点二 ：二次函数的图象与性质1.二次函数的图象和性质图象[来源:学§科§网Z§X§X§K]开口向上向下对称轴    x＝  顶点坐标增减性当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小＝.x=，y最大＝. 变式练习2：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7  .变式练习2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(　　)A. 函数有最小值B. 对称轴是直线x＝C. 当x＜时，y随x的增大而减小D. 当－1＜x＜2时，y＞0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B.由图象可知，对称轴为x＝，正确，故本选项不符合题意；C.因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．2.系数a、b、c的关系系数a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.a、  b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，  -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 注意某些特殊形式代数式的符号：①      a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③      2a+b的符号，需判断对称某些特殊形式代数式的符号：②      a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.④      2a+b的符号，需判断对称③      a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.⑤      2a+b的符号，需判断对称轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.3．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( D )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 知识点三 ：二次函数的平移 平移与解析式的关系 变式练习1：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．变式练习2：如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A．y＝(x－1)2＋2  B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1  D．y＝x2＋3变式练习3：已知二次函数y＝x2－4x＋a，下列说法错误的是(　　)A. 当x＜1时，y随x的增大而减小B. 若图象与x轴有交点，则a≤4C. 当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是1＜x＜3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，   －2)，则a＝－3　【解析】C∵y＝x2－4x＋a，∴对称轴x＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x＜1时，y随x的增大而减小，所以A选项正确；B.∵b2－4ac＝16－4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，所以B选项正确；C.当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是x＜1或x＞3，所以C选项错误；D.y＝x2－4x＋a配方后是y＝(x－2)2＋a－4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y＝(x＋1)2＋a－3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a＝－3，所以D选项正确，故选C. 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式1.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根2.二次函数与不等式抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 变式练习：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1. 变式练习1：已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点，∴方程x2＋x＋c＝0无解，即b2－4ac＝1－2c＜0，解得c＞；(2)直线y＝cx＋1经过一、二、三象限，理由如下：∵c＞＞0，则一次函数y＝cx＋1中c＞0，b＝1＞0，∴直线y＝cx＋1经过一、二、三象限．  知识点五 ：　二次函数综合题变式练习1：已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．解：(1) 把点O(0，0)代入解析式y＝x2－2mx＋m2－1，得0＝m2－1，解得m＝±1，∴二次函数解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴点D的坐标为(2，－1)，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)(3)存在．如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P为所求．设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，3)、D(2，－1)代入，得，解得，∴直线CD的解析式为y＝－2x＋3.当y＝0时，－2x＋3＝0，x＝，∴P点的坐标为(，0)． 变式练习2：如图，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．第2题图 解：(1)令y＝0，则有x2－x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝6，∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(6，0)，∴AB＝9，∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－9)，∴OC＝9；(2)设△ADE的边AE上的高为h，∵直线l∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，∴h＝m，∴S＝m2(0＜m＜9)；(3)∵＝－＝m－m2                      ＝－(m－)2＋(0＜m＜9)，∴当m＝时，△CDE的面积最大，最大面积是，∴BE＝AB－AE＝，∴＝××9＝，∵BC＝＝＝3，∴点E到BC的距离为2×÷3＝，∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为π×()2＝π.变式练习3：如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)．(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．第3题图解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)，对于抛物线y＝－x2＋x＋1，令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1，令x＝3，得y＝，即有B(3，)，将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝，∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；(2)显然OP＝t，即P(t，0)，将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t2＋t＋1，即N(t，－t2＋t＋1)，将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1，即M(t，t＋1)，∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)，∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)； (3)显然NM∥BC，∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC，即s＝－t2＋t＝，解得t＝1或t＝2.①当t＝1时，M(1，)，∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，∴四边形BCMN为菱形；②当t＝2时，M(2，2)，∴MP＝2，CP＝1.在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.∴四边形BCMN不是菱形．综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1时，平行四边形BCMN为菱形．