中考数学专题复习全攻略：第二节 三角形的基础知识与全等三角形 含解析答案

第二节 三角形的基础知识与全等三角形

知识点一：三角形的分类及性质   

1、三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上， 三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

5.三角形的分类 

（1）按角的关系分类  

（2）按边的关系分类

6.三边关系 

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

.变式练习1：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.[

变式练习2：已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　)

A. 5            B. 6            C. 11             D. 16

【解析】C组成三角形的三条线段长度须满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．此三角形的两边之和为14，两边之差为6，所以此三角形第三边的长可能是11.

变式练习3：下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )

A．2 cm，3 cm，5 cm   B．7 cm，4 cm，2 cm

C．3 cm，4 cm，8 cm   D．3 cm，3 cm，4 cm

7.角的关系 

（1）内角和定理 ：

①三角形的内角和等180°；

 ②推论：直角三角形的两锐角互余.

变式练习： 在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C )

A．35°  B．40°  C．45°  D．50°

（2）外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

8.三角形中的重要线段

变式练习1：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝________．

        第1题图   

【解析】3∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵在△ABC中，BC＝6，∴DE＝BC＝×6＝3.

变式练习2：如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．

第2题图

　【解析】4∵△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，AG＝2GD，∴S△ACG＝S△ACD＝4，又∵AE＝CE，∴S△CEG＝S△ACG＝2，同理，S△BGF＝2，∴S阴影＝2＋2＝4.

9 .三角形中内、外角与角平分线的规律总结

如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；

如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；

如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.

10.三角形的面积

三角形的面积=×底×高=x周长x内切圆半径。

知识点二  ：三角形全等的性质与判定

1.全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2.全等三角形的表示和性质

全等三角形的表示

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

全等三角形的性质 

(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形 的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等．

3.三角形全等的判定

变式练习1： 如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( A )

A．AC＝BD  B．∠CAB＝∠DBA

C．∠C＝∠D   D．BC＝AD

,第1题图)

变式练习2： 如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：

①BE＝ GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH.

其中，正确的结论有( B )

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE＝GE，∴①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE＋∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG＋∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∴△GAE≌△CEF(SAS)，∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°－90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG＋∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B

变式练习3： 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝__120°__．

,第3题图)

4.全等三角形的运用 

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.

（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图 ①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.

③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

变式练习1：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.

变式练习2： 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．

解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(米)

变式练习3： 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上．___PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E__．求证：___PD＝PE__

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE

4.证明角相等的常见方法：

（1）找公共角或对顶角；             

（2）利用角平分线定义

（3）利用垂直（直角）的定义   

（4）利用两直线平行，同位角或内错角相等

（5）利用等式的性质，作等角或同角的和或差

（6）利用同角或等角的补角（余角）相等

（7）利用全等三角形的对应角相等

5．证明边相等的常见方法：

（1）找公共边       

（2）利用线段的中点

（3）利用等式的性质，作线段的和或差

（4）利用全等三角形的对应边相等

6.巧引辅助线证全等：

（1）                  连接特殊点：在题目给定的图形中，往往存在着一些具有一定特殊以一定的点，恰当地把这些点连接起来，常能构成全等三角形。

变式练习：

（2）短延长或长截短（截长补短）：在证明线段的和差关系，特别是题目中给出交平分线时，常采用把长线段截短或把短线段延长的方法来构造图形，以利用角平分线的对称性来证明。

变式练习：

（3）完善特殊图形：有些题目中所给出的图形，是某一个特殊图形的一部分，如果通过添加辅助线将这个特殊图形补全，图形中的全等三角形就显现出来了。

变式练习：

（4）作平行线：当说明两个三角形全等需要一对对应角相等，但图形中又不存在这样的相关的角时，可通过某一个点作某一条线段的平行线，为说明全等提供等角的条件。

变式练习1：

变式练习2：已知，如图，点E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.求证：AE＝CF.

                                          第2题图

证明：∵AD∥CB，

∴∠A＝∠C，

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE(ASA)，

∴AF＝CE，

∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF. 

变式练习3：如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG；

(2)求BG的长．

                                         第3题图

 (1)证明：由折叠的性质可得，AD＝AF，∠ADE＝∠AFE＝90°，

∴AB＝AF，∠ABG＝∠AFG＝90°，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

 ，

∴△ABG≌△AFG(HL)；

(2)解：由△ABG≌△AFG，得BG＝FG，

由折叠知，ED＝EF＝3，

设BG＝FG＝x，则CG＝6－x，EG＝x＋3，

在Rt△CEG中，

∵EG2－CG2＝CE2，

∴(x＋3)2－(6－x)2＝32，

解得x＝2，即BG的长为2.