中考数学全面突破：第八讲　反比例函数 含解析答案

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第八讲　反比例函数
命题点分类集训
命题点1　反比例函数的图象与性质
【命题规律】考查内容：①函数图象所在象限与 k 之间的关系；②函数增减性与 k 之间的关系；③函数图象上的点满足函数条件来确定解析式或求k值；④函数图象上点的坐标值比较大小；⑤写出函数图象上的特殊点；⑥判断函数的图象．
【命题预测】反比例函数图象与性质作为反比例函数的基础知识点，是命题的一大趋势，掌握函数图象与k之间的关系是解决问题之关键．
1.点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A. (2，4)　　B. (－1，－8)　　C. (－2，－4)　　D. (4，－2)
1. D
2.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(　　)
A. y＝3x B. y＝ C. y＝－ D. y＝x2
2. B
3.函数y＝的图象可能是(　　)

3. C
4.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．
4. (1，－3)(答案不唯一，合理即可) 　【解析】对于y＝－，依题意，说明只要x是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．
5.已知反比例函数y＝(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是________．
5. k>0　【解析】∵反比例函数y＝(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0.
6.已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m”或“＝”或“0时，反比例函数y＝图象的两个分支分别位于第一、三象限，直线y＝kx＋k2经过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当k0)交于点A(1，a)，则y1>y2的解集为________．
13. x＞1 　【解析】当x＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集为x＞1.
14.如图，一次函数y＝kx＋b(ky2时x的取值范围．













12.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(2，－1)，B(，n)两点，直线y＝2与y轴交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．












13.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？









1. D　【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反比例函数y＝－中k＝－1＜0，∴当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2.故选D.方法二：令x1＝－1，则y1＝1，令x2＝1，则y2＝－1，∴y1＞0＞y2.
2. B　【解析】∵由题意可得路程s＝80×4＝320，∴v＝.

第3题解图
3. A　【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x的方程＝mx＋6有实数根，方程化简为：mx2＋6x－n＝0，显然m≠0，Δ＝36＋4mn≥0，所以mn≥－9，由于一次函数与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，所以n＞0，显然当一次函数y随x的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn≥－9符合题意．

第4题解图
4. D　【解析】如解图所示，过点A作AG⊥OB，垂足为G，设A点纵坐标为4m，∵sin∠AOB＝，∴OA＝5m，根据勾股定理可得OG＝3m，又∵点A在反比例函数y＝上，∴3m×4m＝48，∴m1＝2，m2＝－2(不合题意，舍去)，∴AG＝8，OG＝6，OA＝OB＝10，∵四边形OBCA是菱形，∴BC∥OA，∴S△AOF＝S菱形OBCA＝×AG×OB＝×8×10＝40.故选D.
5. 2＋4　【解析】设点A的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，∴△ABC的周长＝2＋4.
6. －2(答案不唯一)　【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k＜0，如k＝－2(答案不唯一)．

第7题解图
7. 2　【解析】由题意可知，D点在反比例函数图象上，如解图所示，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，则k＝xD·yD＝DF·DE＝S矩形OEDF，又D为对角线AC中点，所以S矩形OEDF＝S矩形OABC＝2，∴k＝2.
8. m＜1　【解析】∵在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，∴双曲线在二、四象限内，∴在函数y＝中，m－1＜0，即m＜1.

第9题解图
9. －6　【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，因为四边形ABCO是菱形，且面积为12，则△OCD的面积为3，利用反比例函数k的几何意义可得k＝－6.
10. 6　【解析】 设A点的坐标为(a，)，直线OA的解析式为y＝kx，于是有＝ka，∴k＝，直线为y＝x，联立得方程组，解得B点的坐标为(，)，∵AO＝AC，A(a，)，∴C(2a，0)，∴S△ABC＝S△AOC－S△BOC＝×2a×－×2a×＝9－3＝6.
11. 解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y＝，
∴k＝xy＝10，
把(2，5)代入一次函数的解析式y＝x＋b，
∴5＝2＋b，
∴b＝3.
(2)由(1)知k＝10，b＝3，
∴反比例函数的解析式是y＝，
一次函数的解析式是y＝x＋3.
解方程x＋3＝，
∴x2＋3x－10＝0，
解得x1＝2(舍去)，x2＝－5，
∴点B 坐标是(－5，－2)，
∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x的取值范围，
∴根据图象可得不等式的解集是x＜－5或0＜x＜2.
12. 解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y＝的图象上，
∴－1＝，即m＝－2.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
∵点B(，n)在反比例函数y＝－的图象上，
∴n＝－＝－4，即点B的坐标为(，－4)．
将点A(2，－1)和点B(，－4)分别代入y＝kx＋b，得

第12题解图

，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x－5.
(2)如解图，设直线AB交y轴于点D.
令y＝2x－5中x＝0，得y＝－5，即点D的坐标是(0，－5)，
∴OD＝5.
∵直线y＝2与y轴交于点C，
∴C点的坐标是(0，2)，
∴CD＝OC＋OD＝7.
∴S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝×7×2－×7×＝7－＝.
13. 解：(1)当0≤x≤3时，设线段AB的解析式为y＝kx＋b，
代入点A(0，10)，B(3，4)，得：，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝－2x＋10.
当x>3时，设反比例函数的解析式为y＝，代入点B(3，4)，得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)能．理由如下：
当x＝15时，代入y＝，得y＝0.8