高中数学高考4 第4讲　随机事件与古典概型　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)

A．0.5   B．0.6

C．0.7   D．0.8

解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.

2．(2019·福建漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.故选B.

3．(2019·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3AAA＝36种取法，所以P＝＝.故选C.

4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则>1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，故概率为.

5．(2019·武汉市调研测试)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有CA＋CA＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为＝，故选C.

6．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.

答案：0.98

7．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．

解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为＝.

答案：

8．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________．

解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A＝12个“好数”，故所求概率为＝.

答案：

9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得

P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

10．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.

(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．

解：(1)由题意－≥－1，即b≤a.

而(a，b)共有C·C＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为.

(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．

因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，

所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.

[综合题组练]

1．(2019·泉州模拟)已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，

现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，

基本事件总数n＝A＝6，

恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝CCC＝3，

所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝＝＝.故选A.

2．(2019·河南开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.

3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．

解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m＝A＋C＋1＝10.

故幸运数字为3的概率为P＝＝.

答案：

4．如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．

解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.

答案：

5．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：

(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；

(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．

解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：

这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为

(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.

(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，

P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，

P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，

从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.

6．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.

(1)记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件共5个，

即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，

所以P(A)＝，

即小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.

则事件B包含的基本事件共6个，

即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．

所以P(B)＝＝.

事件C包含的基本事件共5个，

即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．

所以P(C)＝.

因为>，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．