高中数学高考4 第4讲　二次函数与幂函数　新题培优练

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[基础题组练]1．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)A．0　　　　　　　 B．1C．2 D．3解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0<m<4.又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－4m为偶数，因此m＝2.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A．－3　　　　　　　　　 B．1C．2 D．1或2解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)解析：选A.当0<a<1时，y＝logax为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝<0，排除C，D；当a>1时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝>0，排除B.故选A.4．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)解析：选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是(　　)A．(－4，2)B．(－2，4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<－4.6．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c<a<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<c解析：选A.根据题意，m－1＝1，所以m＝2，所以2n＝8，所以n＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3是定义在R上的增函数，又－<0<<＝1<ln π，所以c<a<b.7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则(　　)A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0解析：选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数．因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－＝2，则4a＋b＝0，又f(3)>f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a<0.故选B.8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数，又f(a＋1)<f(10－2a)，所以解得所以3<a<5.答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.答案：y＝x2－2x＋310．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.答案：(0，1]11．已知函数f(x)＝bx2－2ax＋a(a，b∈R)的图象过点.(1)当a＝2时，求函数y＝logf(x)的单调增区间；(2)当a＜0时，求使函数f(x)的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a值．解：因为f(x)＝bx2－2ax＋a的图象过点，所以b＝1，(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2，令f(x)＞0可得，x＞2＋或x＜2－，所以f(x)在(2＋，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－)上单调递减，y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y＝logf(x)的单调增区间为(－∞，2－)．(2)当a＜0时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴x＝a＜0，①a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，当x＝－1时，函数有最小值f(－1)＝1＋3a＝－2，当x＝1时，函数有最大值f(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，②0＞a＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x＝a时，函数有最小值f(a)＝a－a2＝－2，解得，a＝2(舍)或a＝－1(舍)，综上可得，a＝－1.12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知，a＝－或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是　(　　)A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　)A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．与a值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝，又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，所以当x1，x2在对称轴的两侧时，－x1>x2－，故f(x1)<f(x2)．当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)<f(x2)．综上，f(x1)<f(x2)．3．(创新型)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点．答案：4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．