高中数学高考4 第4讲　直接证明与间接证明　新题培优练

[基础题组练]

1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”索的因应是(　　)

A．a－b>0　　　　　　　　　   B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0   D．(a－b)(a－c)<0

解析：选C.<a⇔b2－ac<3a2

⇔(a＋c)2－ac<3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0

⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.

3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)

A．lg(1＋a2)>0　　　　　　   B．a2＋b2≥2(a－b－1)

C．a2＋3ab>2b2   D.<

解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．

4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)

A．A≤B≤C   B．A≤C≤B

C．B≤C≤A   D．C≤B≤A

解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C.

5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒为负值   B．恒等于零

C．恒为正值   D．无法确定

解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，

由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.

6．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．

解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然<，所以a<b.

答案：a<b

7．已知a>b>0，则①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正确的序号是________．

解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正确；

当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．

答案：①③④

8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，

所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1<cn.

答案：cn＋1<cn

9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b.

10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.

证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

所以－1＝＝>，①

－1＝＝>，②

－1＝＝>，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

得>8.

[综合题组练]

1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)

A．a，b，c同号

B．b，c同号，a与它们异号

C．a，c同号，b与它们异号

D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定

解析：选A.由·>1知与同号，

若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，

若<0且<0，则－>0，－>0，

＋≥2 >2，即＋<－2，

这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．

2．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.当a1<a2<a3时，设公比为q，

由a1<a1q<a1q2得

若a1>0，则1<q<q2，即q>1，

此时，显然数列{an}是递增数列，

若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，

此时，数列{an}也是递增数列，

反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.

故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件．

3．(创新型)设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；

④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.

其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)

解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，

但a＜1，b＜1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，

反证法：假设a≤1且b≤1，

则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，

因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

答案：③

4．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．

解析：法一(补集法)：

令解得p≤－3或p≥，

故满足条件的p的取值范围为.

法二(直接法)：

依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，

即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，

得－＜p＜1或－3＜p＜，

故满足条件的p的取值范围是.

答案：

5．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.

证明：a⊥b⇔a·b＝0，

要证≤.

只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，

只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，

即证(|a|－|b|)2≥0，

上式显然成立，故原不等式得证．

6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.

(1)证明：是f(x)＝0的一个根；

(2)试比较与c的大小；

(3)证明：－2<b<－1.

解：(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，

所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，

因为f(c)＝0，

所以x1＝c是f(x)＝0的根，

又x1x2＝，

所以x2＝，

所以是f(x)＝0的一个根．

(2)假设<c，又>0，

由0<x<c时，f(x)>0，

知f>0与f＝0矛盾，

所以≥c，又因为≠c，所以>c.

(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，

所以b＝－1－ac.

又a>0，c>0，所以b<－1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

x＝－＝<＝x2＝，

即－<.

又a>0，所以b>－2，

所以－2<b<－1.