2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设集合，，，则______．
【答案】##
【分析】利用补集及交集的定义运算即得.
【详解】因为，
所以，又因为，
所以.
故答案为：.
2．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据不等式的解集为，可得是方程的两根，即可求出a的值，代入所求不等式，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】由题意得，是方程的两根，可得，解得，
所以不等式为，整理为，解得，
故答案为：.
【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.
3．幂函数在上单调递减，则的值为______．
【答案】2
【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
【详解】解：因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，符合题意.
所以的值为
故答案为：
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
5．设实数满足，则________．
【答案】或2
【分析】结合对数的换底公式整理得，求出，结合对数和指数式的互化即可求出.
【详解】由于，所以原式转化为，
即，解得或，所以或．
故答案为: 或2.
6．函数的值域是________.
【答案】
【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.
【详解】解：由题可知，函数，
则，解得：，
所以函数的定义域为，
设，，
则时，为增函数，时，为减函数，
可知当时，有最大值为，
而，所以，
而对数函数在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
7．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，求解即可
【详解】
记
由是的充分不必要条件，可得，且
故，且等号不同时成立，解得
故答案为：
8．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得.
【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得，
在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得，
综上得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
9．已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
10．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
其中正确结论的序号是______．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据对数函数的图象与性质，求得a的取值范围是；同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；
对于，函数且在上是减函数，
，
解得a的取值范围是，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确．
综上，正确结论的序号是．
故答案为．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．
11．已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．
【答案】##-0.8
【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有，根据已知解析式求值即可.
【详解】由题设，，故，即的周期为2，
所以，且，
所以.
故答案为：.
12．设，对任意实数x，记，其中．若至少有3个零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、单选题
13．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．b2
C．>D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
14．下列命题中，真命题是（ ）
A．B．若且，则x，y至少有一个大于1
C．D．的充要条件是
【答案】B
【分析】举反例可判断AD，由，可判断C，由逆否命题与原命题同真假可证明B.
【详解】选项A，当时，，错误；
选项B，若，则，故若且，则x，y至少有一个大于1，正确；
选项C，由于，故，错误；
选项D，当时，无意义，错误.
故选：B
15．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数的零点即函数与函数图象交点横坐标，如图，据根的存在性定理结合图形不难判断出，而选项A、B、C、D的零点分别为，可立即排除A、B、C，
故选D．
16．已知函数，若存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】，易得与的图象关于直线对称，由大小关系易判断，再将全部代换为含a的式子得，令，利用换元法和对勾函数性质进而得解.
【详解】∵，∴与的图象关于直线对称，作出的大致图象如图所示，
易知，由，即，，得，
∵，∴，得，
∴.
设， 则，.
，当且仅当取到等号，
故当时，令，单减，，
故.
故选：A
三、解答题
17．已知集合或，集合．
（1）若求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；
（2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解.
【详解】（1）当时，集合或，，
可得，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，可得，
当时或，可得，
综上所述：或．
所以实数a的取值范围为.
18．已知关于x的不等式．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，则求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解；
(2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）当，不等式，
解得，或，
故的解集是．
（2）若，则解得，此时符合题意；
若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意；
若，二次函数开口向上，
若要不等式的解集非空，则需解得；
综上，的取值范围是．
19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．
【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后再比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，
当时，，
，当且仅当即时，等号成立，
，
即当时，取到最大值2300，
，
当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．
20．已知函数
（1）当，时，解关于的方程；
（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；
（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；
（2）利用奇函数的性质直接求解；
（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值.
【详解】（1）当，时，．
即，
解得：或（舍去），∴；
（2）若函数是定义在上的奇函数，
则，即
即恒成立，
解得：，，或，
经检验，满足函数的定义域为，
．
（3）当时，函数满足，
∴，则
不等式恒成立，
即恒成立
即恒成立，
设，则，即，恒成立，
由平均值不等式可得：当时，取最小值．
故，即实数m的最大值为．
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
21．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.
（1）求，的值；
（2）当时，
①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.
【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数.
（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围.
【详解】（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立，
∴，解得或.
（2）由知：，故
①，由，在上均单调递增，
∴在区间上的单调递增.
②由①知，可得，即在区间上有两个不同的解，令，
∴当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时.
∴.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；
（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.