2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先解出前者范围为或，根据集合间的包含关系即可得到答案.

【详解】由可得或,

因为或,

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．已知x，y，，且，，，则a，b，c三个数（    ）

A．都小于 B．至少有一个不小于

C．都大于 D．至少有一个不大于

【答案】B

【分析】应用反证法，假设a，b，c三个数都小于，利用得到矛盾结论，即可确定答案.

【详解】若a，b，c三个数都小于，

则，即，

显然不等式不成立，

所以a，b，c三个数至少有一个不小于，排除A，而C、D不一定成立.

故选：B

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用不等式的性质和作差法比较大小即可.

【详解】A选项：当时，，故A错；

B选项：，因为的符号不确定，所以的符号也不能确定，故B错；

C选项：，因为，所以，，，即，则，故C正确；

D选项：，因为，所以，，即，，故D错.

故选：C.

4．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ）

A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集

B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集

C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集

D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集

【答案】B

【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.

【详解】解：对于集合，

可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；

当时，，，可得是的子集；

当时，，且，可得不是的子集；

综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.

故选：B.

二、填空题

5．已知集合，若，则______.

【答案】

【分析】根据子集概念可知，由此可构造方程求得.

【详解】，，，解得：.

故答案为：.

6．关于x的方程的两个根为，，则______．

【答案】3

【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.

【详解】由题意得，，所以．

故答案为：3.

7．若（a>0），则m=___________.

【答案】

【分析】根式化为分数指数幂，由幂的运算法则运算后可得．

【详解】，．

故答案为：．

8．若且，则的最大值是____________．

【答案】7

【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.

【详解】，则，解得：

即，因为且，所以，故，故的最大值为7

故答案为：7

9．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.

【答案】

【分析】根据“三个二次关系”确定参数值，进而解二次不等式即可.

【详解】∵关于的不等式的解集为，

∴，即，

∴关于的不等式可化为，即

∴解集为，

故答案为：

10．已知集合，，则＝___．

【答案】

【分析】求出集合A,B,利用并集的运算直接求解．

【详解】解不等式即，解得 ，

故，

解，即，解得 ，

故，

则，

故答案为：．

11．对于任意实数，不等式无解，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、进行求解处理.

【详解】当时，即，则，无解，所以；

当时，即，要使不等式无解，

则，解得；

综上，.

故答案为：.

12．已知，则__________．（用m，n表示）

【答案】

【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可.

【详解】由题意得，，所以.

故答案为：.

13．设，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是___________．

【答案】

【分析】结合不等式的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．

【详解】由得

解得，

设

由得

解得，

设．

是的必要不充分条件，

，即真包含于

，解得

实数的取值范围为

故答案为：

14．已知，均为正数，且，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】由已知有，则，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件.

【详解】由均为正数，且，则，

又，

，当且仅当，即取等号，

所以，当且仅当取等号，则，

所以，当且仅当取等号，目标式最小值为6.

故答案为：6

15．设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_________．

【答案】3.

【分析】若对任意的恒成立，则，或，，结合一次函数与二次函数的性质可得的范围，进而得到的最大值.

【详解】因为对任意的恒成立，

所以，或，，

①若对任意的恒成立，则即，

当时，不成立，

②若对任意的恒成立，则，即，

若对任意的恒成立，则，得，

所以的最大值为，

故答案为：3.

16．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．

【答案】或

【分析】由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.

【详解】，得；，得；

∴，；同理，

∴．由(1)(3)可得．

∴，，．

或．

故答案为：或

三、解答题

17．已知集合，全集．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）先求出集合，再利用交集和交集的定义分别求解，

（2）由，得，然后分和两种情况求解即可.

【详解】（1）当时，，

因为，

所以，，

（2）因为，所以，

当时，满足，此时，得，

当时，因为，

所以，解得，

综上，或，

即实数的取值范围为.

18．（1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由；

（2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．

【答案】（1），理由见解析；

（2）证明见解析， .

【分析】（1）利用作差法比较大小即可；

（2）分、和三种情况证明不等式成立，然后根据分类讨论的情况即可得到不等式等号成立时的范围.

【详解】（1），理由如下，

，

因为不全为零，所以，即.

（2）当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立；

当时，原不等式可整理为，成立；

当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立；

综上所述不等式对于所有实数恒成立，

由上可得当时，不等式取等号.

19．已知不等式，其中x，k∈R．

(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；

(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．

【答案】(1)或或}

(2)

【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；

（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．

【详解】（1）若x＝4，则不等式变形为

即，

解得或，

所以 或或，

故不等式的解集为或或}；

（2）令，

则不等式对任意k∈R恒成立，

等价于对任意t≥1恒成立，

因为，

当且仅当，即t＝时取等号，

所以x≤，

故x的最大值为．

20．2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：

(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?

(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)，且，

，且；

(2)125；

(3)存在，.

【分析】（1）根据题意写表达式即可；

（2）根据题意列不等式，解不等式即可得到调整后的研发人员的最少人数；

（3）根据条件①②列不等式，解得即可.

【详解】（1）由题意得，，且，

，且.

（2）由（1）得，，解得，又，则调整后研发人员的人数最少为.

（3）由条件①得：，整理得，则，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以；

由条件②得：，解得，因为，当时，取得最大值，所以；

综上所述，存在这样的满足以上两个条件，的范围为.

21．已知有限集合，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合. 对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，…，如此经过次变换后得到的新集合记作.

（1）设，请写出的所有可能的结果；

（2）设是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由；

（3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合.

【答案】（1），；（2）最多9次，最少5次；理由见解析；（3）.

【分析】（1）根据收敛集合的定义和，分类讨论和，即可求出的所有可能的结果；

（2）根据收敛集合的定义得出时，仍是收敛集合，若，则的元素个数比少2个，若，则的元素个数比少1个，结合变换即可得出结果；

（3）对于满足的实数定义运算：，证明可知运算满足交换律和结合律，结合运算，集合经过反复变换，即可得出结果.

【详解】解：（1）由题可知，，

若取，为和0，则，因而；

若取，为和，则，因而；

若取，为0和，则，因而；

综上，的所有可能的结果有，.

（2）对于任意的收敛集合，

其中的两个元素，都有，

则

，

即，因而仍是收敛集合，

若，则的元素个数比少2个；

若，则的元素个数比少1个；

因而对于含有10个元素的集合，

若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少1个元素，

则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换；

若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少2个元素，

则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换；

所以最多进行9次变换，最少进行5次变换.

（3）由于，

对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，

对于满足的实数定义运算：，

因为，且，所以，即该运算满足交换律；

因为，

且，

所以，即该运算满足结合律，

所以运算满足交换律和结合律，

由于，

先取进行运算，得到；

再取进行运算，得到；

再取进行运算，得到；

再取进行运算，得到；

最后取进行变换，得到，因而.

综上，最终所得集合只有一个元素时，所有的满足条件的集合.

【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解新定义“收敛集合”的含义是解决的关键，考查运算能力和分类讨论思想，属于难题.