2022-2023学年上海市向东中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市向东中学高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则__________．

【答案】

【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．

【详解】解：，1，，，，

．

故答案为：．

2．函数的定义域为____________．

【答案】

【分析】分别求出 和 的定义域，再求交集.

【详解】由题意 ，解得 ，即 ；

故答案为： .

3．若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.

【答案】##

【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式.

【详解】由题设，，可得，

∴幂函数表达式为.

故答案为：.

4．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．

【答案】-6

【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．

【详解】解：的图象过点，

函数的图象过点，

又，

，即．

故答案为：．

5．设一元二次方程的两个实根为、，则________.

【答案】42

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.

【详解】一元二次方程的两个实根为、，所以有，

因此，

故答案为：

6．若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围____________．

【答案】

【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围．

【详解】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点，

则当时，与在第二象限有交点，

所以实数a的取值范围．

故答案为：．

7．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果.

【详解】不等式对一切实数x恒成立，

，解得：

故答案为：.

8．已知，，试用a、b表示________.

【答案】

【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，因此有：

，

故答案为：

9．已知函数的最小值为-2，则实数a=________.

【答案】

【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.

【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，

当时，即，函数在时单调递减，

因此，显然符合；

当时，即时，，显然不符合；

当时，即时，函数在时单调递增，

因此，不符合题意，综上所述：，

故答案为：

10．已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是严格增函数，且，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】在区间上是严格增函数，且，得到在(0,2)内,在(2,+∞)内进一步利用偶函数的性质得到在时函数的正负区间，然后根据不等式的基本性质将要求解的不等式分情况讨论求得解集.

【详解】∵在区间上是严格增函数，且，

∴在(0,2)内,在(2,+∞)内

又∵为偶函数，∴在(-2,0)上，在(-∞，-2)内,

且,

不等式等价于x>0时，即；

当x<0时，，即

故答案为：.

二、单选题

11．“”是“指数函数在上是严格减函数”的 （    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.

【详解】充分性：时，在上是严格减函数成立，故充分性满足；

必要性：由“指数函数在上是严格减函数”可得：，所以不一定成立，故必要性不满足.

故“”是“指数函数在上是严格减函数”的充分非必要条件.

故选：A.

12．任意，下列式子中最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A.通过举例排除；BCD通过基本不等式及等号的成立条件来判断.

【详解】A.当时，，排除；

B.，当且仅当时等号成立，符合；

C.，当且仅当时等号成立，排除；

D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.

故选：B.

13．已知函数，若，则是（    ）

A．奇函数，在上为严格减函数

B．奇函数，在上为严格增函数

C．偶函数，在上严格减，在上严格增

D．偶函数，在上严格增，在上严格减

【答案】B

【分析】由可知为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设的奇偶性,从而得到答案.

【详解】

为奇函数,

又

是奇函数,可排除C,D.

又

在上单调递增.

故选：B

三、解答题

14．已知全集为，集合.

(1)求；

(2)已知集合，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据补集的运算可得答案；

（2）利用结合图形可得实数的取值范围.

【详解】（1）因为或，

所以.

（2）因为，所以，解得.

实数的取值范围是.

15．已知函数．

(1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的；

(2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据函数平移变换即可得到答案.

（2）首先根据题设得到得到，再求函数另一个零点即可.

【详解】（1）向左平移2个单位得到，

再向上平移1个单位得到.

（2），

因为函数的一个零点为3，所以，解得.

所以，

令，解得.

所以函数的另一个零点为.

16．将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，问水箱的高及底面边长分别为多少时，这个水箱的表面积为最大？并求出这个水箱最大的表面积.

【答案】,时, 水箱的表面积为最大,最大值为6

【分析】根据题意列出表面积关于的函数关系式以及定义域,再根据二次函数的性质求得结果.

【详解】依题意可得,即,所以,

水箱的表面积,

因为,所以时,.

所以,时, 水箱的表面积为最大,最大值为6.

【点睛】本题考查了二次函数模型的应用,关键是根据题意列出函数关系式,属于基础题.

17．已知关于x的不等式的解集为或

（1）求实数a､b的值；

（2）解关于x的不等式(c为常数)

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）结合一元二次不等式的解集，利用韦达定理列方程，由此求得.

（2）对分成进行分类讨论，利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.

【详解】（1）由题意可得，1和b是的两个实数根，由韦达定理可得，且，

解得

（2）关于x的不等式等价于，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为，或；

当时，不等式的解集为，或.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集与根的关系，考查分式不等式的解法，属于中档题.

18．设.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）求证：函数在R上是严格增函数；

（3）若，求t的取值范围.

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．

【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；

（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；

（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：

的定义域为，关于原点对称，

∴为奇函数；

（2）证明：任取，且

∵，

∴，，，

∴，即

∴函数在R上是严格增函数

（2）∵在R上是奇函数且严格增函数，

所以，解得或

所以t的取值范围是或．