2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末练习数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末练习数学试题

一、填空题

1．函数（）的反函数为______.

【答案】

【分析】按定义直接求即可.

【详解】∵，则，

故，故反函数为

故答案为： .

2．函数的值域为______．

【答案】

【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．

【详解】由，

又，则，则，所以，

故函数的值域为．

故答案为：．

3．方程的解是________．

【答案】

【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.

【详解】由得：，

即，解得：.

故答案为：.

4．若函数则________.

【答案】

【分析】由函数的定义得出在时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值．

【详解】当x>0时，

f(x)=f(x－1)－f(x－2)，①

∴f(x＋1)=f(x)－f(x－1)，②

①＋②得，f(x＋1)=－f(x－2)，

∴时，f(x)的周期为6，

∴f(2 023)=f(337×6＋1)=f(1)=f(0)－f(－1)=20－21=－1.

故答案为：．

5．函数的递增区间是_________

【答案】

【分析】先求出定义域，在定义域内判断函数的单调性．

【详解】由题意，则或，

易知在是递减，在上递增，而是增函数．

∴函数的递增区间是．

故答案为：

【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数的性质是解题关键．

6．幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是______.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数的取值集合.

【详解】解：因为幂函数，所以，

解得或，

幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以，即，

所以或均符合题意，则实数的取值集合是.

故答案为：.

7．不等式的解为______.

【答案】

【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.

【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，

又，则为偶函数，所以在上单调递减，

则由不等式可得，平方后整理得，

即，解得，则不等式的解集为.

故答案为：.

8．已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，，则在上的“倍几何平均数”是______.

【答案】

【分析】由“倍几何平均数”的定义可知即为函数，最大值与最小值的几何平均数，根据函数在上的单调性，即可求得在上的“倍几何平均数”.

【详解】解：由已知中倍几何平均数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几何平均数

又函数，在为减函数

故其最大值，最小值

故.

故答案为：.

9．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为______.

【答案】##0.9375

【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．

【详解】解：若为奇函数，

可得当时，，即有，

由为奇函数，可得，

则，，

由定义在上的函数的反函数为，

且，

可由，

可得的解为．

故答案为：．

10．已知函数，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】首项确定函数的定义域为，然后可得，观察可得，故不等式可转换为；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明可判断在上的单调性，故不等式解，即，解不等式可得实数的取值范围.

【详解】解：因为，定义域满足，解得，

所以，

故，所以，

则不等式，转化为，即，

又函数在上单调递增，在上单调递减，

，且设，

所以又，因为，所以，

所以，由于函数在上单调递增，

所以，故函数在上单调递增，

所以由函数单调性的性质可得在上单调递增，

故，可得，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

11．若函数有零点，则其所有零点的集合为______.（用列举法表示）.

【答案】

【分析】注意到.令，结合时，偶函数均在上单调递增可得答案.

【详解】注意到，令，

得或.

令，注意到均为偶函数，

.又时，函数与函数在上单调递增，

则在上单调递增，

故在上有唯一零点，得，

.则所有零点的集合为.

故答案为：.

12．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】先由题给条件求得函数的单调区间对称轴对称中心，进而将转化为关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.

【详解】定义在R上的奇函数满足，则，则，

又由可得，，

则函数的最小正周期为4，

由，可得函数有对称轴，

当时，，单调递增，

由奇函数图像关于原点对称可得，

当时，，单调递增，

则函数在单调递增，又函数有对称轴，

则函数在单调递减，

又在内，由，

即，可得，

又函数有对称轴，则时，，

则在内，由，可得，

令，，由任意，都有，

又，则的值域是的子集，

①当，即时，在单调递减，

则，则，不等式组无解，不符合题意；

②当，即时，在时取最小值，

在时取最大值，则

则，则，解之得；

③当，即时，在时取最小值，

在时取最大值，则

则，则，解之得；

④当，即时，在单调递增，

则，则，解之得，

综上，实数的取值范围为

故答案为：

【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.

二、单选题

13．下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.

【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.

选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.

故选：D

14．设方程的两根为，（），则（    ）.

A．， B．，

C． D．

【答案】C

【分析】对AB，令 ，由零点存在定理判断；

对CD，由根的方程得，结合根的范围可得及其符号，即可得的范围.

【详解】由题意得，，由得，

令 ，，，，

对AB，由得，故AB错；

对CD， 由得，

由得，∴，故C对D错.

故选：C

15．设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用偶函数推出函数的解析式．

【详解】解：，

为在上的一个延拓函数，

则当时，，

因为是偶函数

当时，，

综上．

故选：B．

16．是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（    ）

A．若，则函数的图象关于原点对称

B．若，，则方程有大于2的实根

C．若，，则方程有两个实根

D．若，，则方程有三个实根

【答案】B

【分析】A.取，判断；B.由，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断； C.取，判断；D.取，判断.

【详解】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；

B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，故正确；

C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，故错误；

D.若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，故错误.

故选：B.

三、解答题

17．（1）求函数的值域；

（2）求函数的值域.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域.

（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.

【详解】（1），，

当时，，当且仅当时等号成立；

当时，，当且仅当时等号成立.

故函数值域为；

（2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为.

18．（1）判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）证明：函数在上严格增.

【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可；

（2）按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可.

【详解】解：（1）函数为奇函数，理由如下：

函数定义域满足，即函数定义域为，

所以，则，

故函数为奇函数；

（2）证明：任取，且，

所以

，

因为，所以，又恒成立，所以，即，

故函数在上严格增.

19．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后与之间的函数关系式；

(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．

【答案】(1)

(2)小时

【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数的解析式，由此可得出函数的解析式；

（2）解不等式，即可得解.

【详解】（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时；

当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．

综上，.

（2）解：当时，由，可得；

当时，由，可得.

所以，不等式的解集为.

因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．

20．（1）求证：关于的方程（，）在区间内存在唯一解.

（2）已知，函数.若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）或或.

【分析】（1）记.判断出在为增函数，利用零点存在定理即可证明；

（2）把方程转化为只有一个根，讨论根的情况，求出实数的取值范围.

【详解】（1）记.

因为和在均为增函数，所以在均为增函数.

因为，，

所以

所以在有且只有一个零点，

即关于的方程（，）在区间内存在唯一解.

（2）方程即,亦即当时，方程①有一解.

①式化简为②.

当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；

当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；

当且时，方程②的解为或.

若是方程①的根，则，即；

若是方程①的根，则，即；

所以要使方程①有且只有一解，只需.

综上所述：方程的解集中恰好有一个元素，实数的取值范围或或

21．设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”.

(1)写出集合到集合 且的一个保序同构函数（不需要证明）；

(2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数；

(3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）.

【答案】(1)

(2)见解析

(3)，的最大值为

【分析】（1）根据保序同构函数的概念以及常见基本初等函数的性质即可求解，

（2）利用反证法，结合保序同构函数的定义即可证明，

（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.

【详解】（1）

（2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”，

由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的，

不妨设整数0和1在中的像分别为和，

根据保序性，因为，

所以，

又也是有理数，但是没有确定的原像，

因为0和1之间没有另外的整数了，

故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”；

（3），

若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递增，且

当 时，即，函数单调递增，且，则单调递减，这与 均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去，

当时，由对勾函数性质可知：当时，单调递增，当 时，单调递减，且当时，取最小值 ，因此在单调递增，

所以是到集合的保序同构函数，则 ，此时

当时， ，不满足是到集合的保序同构函数，

综上，，的最大值为