高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质一课一练

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.4.3　正切函数的性质与图像

1.D　[解析] 由x-≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.

2.B　[解析] ∵f(x)的定义域为xx≠+kπ,k∈Z,关于原点对称,且f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=sin x·tan x=f(x),∴f(x)为偶函数.

3.C　[解析] ∵-tan 2=tan(π-2),且0<1<π-2<,∴tan 1<-tan 2,选项A中不等式不成立;∵tan 735°=tan(735°-720°)=tan 15°,tan 800°=tan(800°-720°)=tan 80°,tan 15°<tan 80°,∴tan 735°<tan 800°,选项B中不等式不成立;∵<π<π<π,∴tanπ>tanπ,选项C中不等式成立;tanπ=tanπ+=tan<tan,选项D中不等式不成立.故选C.

4.A　[解析] 当x∈-,时,由-<tan x<1,tan-=-,tan=1,且y=tan x单调递增,得-<x<.因为y=tan x的最小正周期为π,所以-<tan x<1的解集为xkπ-<x<kπ+,k∈Z,故选A.

5.D　[解析] ∵,0为函数f(x)图像的一个对称中心,∴2×+φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,又φ∈0,,∴φ=,∴f(x)=5tan2x+.当x∈-,时,2x+∈-,,此时f(x)不单调;当x∈-,时,2x+∈(0,π),此时f(x)不单调;当x∈-,时,2x+∈-,,此时f(x)不单调;当x∈-,时,2x+∈-,,此时f(x)单调递增.故选D.

6.C　[解析] 因为cos x∈[-1,1],y=tan x在[-1,1]上单调递增,所以y=tan(cos x)的值域是[-tan 1,tan 1].

7.AD　[解析] 令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,∴直线x=+,k∈Z与函数y=tan2x-的图像不相交,结合四个选项可知,直线x=-和x=与原函数图像不相交,故选AD.

8.ACD　[解析] 令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z,故原函数的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z,显然A中说法错误;易知原函数的最小正周期为π,故B中说法正确;令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以原函数图像的对称中心为-,0,k∈Z,故C中说法错误;正切函数的图像没有对称轴,因此函数y=tanx+的图像也没有对称轴,故D中说法错误.故选ACD.

9.　[解析] 由题可知函数f(x)的最小正周期为,所以=,解得ω=4,所以f=tan4×=tan=.

10.[-4,4]　[解析] ∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.令tan x=t,则t∈[-1,1],∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].

11.①②④③　[解析] ∵|tan x|≥0,∴y=|tan x|的图像在x轴上方或x轴上,∴y=|tan x|x∈-,的图像是①;∵y=tan|x|是偶函数,∴y=tan|x|的图像关于y轴对称,∴y=tan|x|x∈-,的图像是③;易知y=tan xx∈-,的图像是②,y=tan(-x)=-tan xx∈-,的图像是④.故四个函数对应的图像依次是①②④③.

12.①④　[解析]  f(x)=tan x的最小正周期为π,故①正确;函数f(x)=tan x为奇函数,故②不正确;f(0)=tan 0=0,故③不正确;f(x)=tan x在区间-,上单调递增,故④正确;由函数f(x)=tan x的图像(图略)可知,当x1,x2∈-,0时,f>,当x1,x2∈0,时,f<,故⑤不正确.

13.解:(1)因为f(x)=3tan-=-3tan-,

所以f(x)的最小正周期T==4π.

令kπ-<-<kπ+(k∈Z),

得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z),所以y=3tan-在4kπ-,4kπ+(k∈Z)上单调递增,

所以f(x)=3tan-在4kπ-,4kπ+(k∈Z)上单调递减.

故函数f(x)的最小正周期为4π,其单调递减区间为4kπ-,4kπ+(k∈Z).

(2)f(π)=3tan-=3tan-=-3tan,f=3tan-=3tan-=-3tan,

因为0<<<,且y=tan x在0,上单调递增,

所以tan<tan,所以f(π)>f.

14.解:(1)由题意可得,f(x)的最小正周期T==,

所以ω=,故f(x)=tanx-.

(2)因为tanx-≥,

所以kπ+≤x-<kπ+,k∈Z,

解得+≤x<+,k∈Z,

所以满足f(x)≥的x的取值范围是+,+,k∈Z.

15.D　[解析] 当<x<π时,tan x<sin x,y=2tan x<0;当x=π时,y=0;当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x.故选D.

16.A　[解析] 由题意得α≠0.若α∈0,,则tan α>0,由tan α≥,可得tan2α≥1,∴tan α≥1,∴α∈,.若α∈-,0,则tan α<0,由tan α≥,可得tan2α≤1,∴-1≤tan α<0,∴α∈-,0.故α的取值范围为-,0∪,,故选A.

17.解:(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=x-2-.

∵x∈[-1,],∴当x=时,f(x)取得最小值-,

当x=-1时,f(x)取得最大值.

(2)f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ是关于x的二次函数,y=(x+tan θ)2-1-tan2θ的图像的对称轴为直线x=-tan θ.

∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,

∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,

即tan θ≥1或tan θ≤-.

又θ∈-,,

∴θ的取值范围是-,-∪,.