高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修达标测试

7.3.4　正切函数的性质与图像

基础过关练

题组一　正切(型)函数的定义域、值域

1.函数y=3tan的定义域是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. 

B.

C. 

D.

2.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

3.函数y=tan,x∈∪的值域为　　　　　　　　. 

4.已知f(x)=atan-bsin x+4(其中a,b为常数,ab≠0),若f(3)=5,则

f(2 016π-3)=　　　　. 

5.若x∈,求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x的值.

题组二　正切(型)函数的奇偶性、周期性、对称性

6.函数y=2tan的最小正周期是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.      B.      C.        D.π

7.函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

8.函数y=tan的图像的一个对称中心是(　　)

A.       B.      C.       D.

9.(2019江西景德镇一中高一期中)函数y=2tan3x-图像的对称中心不可能是(　　)

A.   B.      C.      D.

10.函数y=|tan x|的最小正周期是　　　　. 

题组三　正切(型)函数的图像及应用

11.函数y=tan在一个周期内的图像是(　　)

12.函数y=f(x)=2x-tan x在上的图像大致是(　　)

13.已知函数y=tan(2x+φ)的图像过点,则φ可以是(　　)

A.-      B.       C.-       D.

14.在区间内,函数y=tan x与函数y=sin x的图像交点的个数为(　　)

A.1         B.2       C.3          D.4

15.函数y=tan x的相邻两个周期内的图像与直线y=2及y=-2所围成的图形的面积是　　　　. 

题组四　正切(型)函数的单调性及应用

16.下列函数中,既是以π为周期的奇函数,又是上的增函数的是(　　)

A.y=tan x      B.y=cos x      C.y=tan      D.y=|sin x|

17.函数f(x)=tan的单调递减区间为(　　)

A.,k∈Z      B.,k∈Z

C.,k∈Z       D.(kπ,kπ+π),k∈Z

18.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则(　　)

A.a<b<c      B.c<b<a       C.b<c<a       D.b<a<c

19.函数f(x)=tan x在上的最小值为　　　　　　　　. 

20.函数y=tan x的值域是　　　　　　　　. 

21.比较-tan与tan的大小.

22.已知函数f(x)=asin,g(x)=btankx-(a,b为实数,k>0),它们的周期之和为,且f=g, f=-g+1,求这两个函数的解析式,并求g(x)的单调递增区间.

23.设函数y=f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期及图像的对称中心;

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图像是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

2.(★★☆)函数y=|tan x|的图像与直线y=1的相邻两个交点之间的距离是(　　)

A.         B.         C.        D.π

3.(★★☆)已知f(x)=tan ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω=　(　　)

A.         B.         C.       D.

4.(★★☆)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若f=1,则f=(　　)

A.1         B.-1         C.3       D.-3

二、多项选择题

5.(★★☆)下列说法正确的是(　　)

A.sin 145°<tan 47°

B.函数y=tan(ωx+φ)(ω≠0)的最小正周期为

C.函数y=2tan x的值域是[2,+∞)

D.函数y=tan x在第一、四象限是增函数

6.(★★☆)已知函数f(x)=tan x,x1,x2∈(x1≠x2),则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x1+π)=f(x1)

B.f(-x1)=f(x1)

C.>0

D.f>(x1x2>0)

三、填空题

7.(疑难2,★★☆)函数y=的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 

8.(2019湖北重点高中高二联考,疑难1,★★☆)若“∀x∈,tan x-1≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 

9.(2019黑龙江双鸭山一中高一期末,★★☆)不等式tan≥的解集为　　　　　　　　　　. 

10.(★★☆)已知函数f(x)=tan(x+φ)的图像的一个对称中心为,则φ的值为　　　　. 

四、解答题

11.(疑难2、3,★★☆)已知函数f(x)=3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;

(2)试比较f(π)与f的大小.

12.(2019浙江衢州五校高一期末,疑难1、2,★★★)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.

(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;

(3)求使函数y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+,k∈Z,

所以函数的定义域为,故选C.

2.A　要使函数有意义,需满足

(k∈Z),即(k∈Z),

∴x≠π且x≠π,k∈Z,∴x≠,k∈Z.

3.答案　∪[,+∞)

解析　∵x∈∪,∴+∈∪.

令t=+,则y=tan t,t∈∪,其图像如图所示.

由图知所求函数的值域为∪[,+∞).

4.答案　3

解析　易知f(x)=atan-bsin x+4的最小正周期为2π.

若f(3)=atan-bsin 3+4=5,则atan-bsin 3=1,

则f(2 016π-3)=f(-3)=atan-bsin(-3)+4=-+4=-1+4=3.

5.解析　y=+2tan x+1=+2tan x+1=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1.

∵x∈,∴tan x∈[-,1].

∴当tan x=-1,即x=-时,y取得最小值1;

当tan x=1,即x=时,y取得最大值5.

6.B　最小正周期T==.

7.A　∵1+cos x≠0,即cos x≠-1,∴x≠2kπ+π,k∈Z.

又y=tan x中x≠kπ+,k∈Z,∴函数y=的定义域关于原点对称.

又f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数.

8.   B　令-7x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z.当k=0时,x=,

∴函数y=tan的图像的一个对称中心是.故选B.

9.D　对于函数y=2tan,令3x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,

所以函数y=2tan图像的对称中心为,k∈Z.

取k=0,得其对称中心为;

取k=-20,得其对称中心为;

取k=7,得其对称中心为;

令+=π,得k=∉Z,

所以其对称中心不可能是.

10.答案　π

解析　y=|tan x|的图像是由y=tan x的图像保留x轴上及其上方部分,并将x轴下方部分翻折到x轴上方得到的,所以其最小正周期也为π.

11.A　当x=时,y=tan=0,故排除C,D;当x=时,y=tan=tan=1,故排除B.故选A.

12.D　函数f(x)的定义域为,关于原点对称.因为f(-x)=-2x+tan x=-(2x-tan x)=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,故排除B,C;因为f=-tan=>0,所以结合图像可排除A.故选D.

13.A　因为函数y=tan(2x+φ)的图像过点,所以0=tan,

即tan=0.

所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),所以φ可以是-,故选A.

14.C　在同一平面直角坐标系中画出正弦函数与正切函数的图像(如图所示),可以看到在区间内两函数图像有3个交点.

15.答案　4π

解析　由题意,画出图像如图所示,

由正切函数图像的对称性可知,函数y=tan x的相邻两个周期内的图像与直线y=2及y=-2所围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积,为4π.

16.A　y=cos x与y=|sin x|是偶函数,y=tan的周期为2π,故选A.

17.B　f(x)=-tan,令kπ-<x-<kπ+,k∈Z,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z.故选B.

18.C　a=tan 1>0,b=tan 2=-tan(π-2)<0,c=tan 3=-tan(π-3)<0.

∵>π-2>π-3>0,且y=tan x在0,上单调递增,

∴tan(π-2)>tan(π-3)>0,

∴-tan(π-2)<-tan(π-3)<0.

综上可得a>0>c>b,即b<c<a.

故选C.

19.答案　-

解析　∵f(x)=tan x在上单调递增,

∴函数的最小值为f=tan=-.

20.答案　(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析　函数y=tan x在上单调递增,在上也单调递增,

所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).

21.解析　-tan=-tan,tan=-tan=-tan.

∵0<<<<π,

∴tan>0,tan<0,

∴-tan<-tan,

即-tan<tan.

22.解析　根据题意,可得

解得故f(x)=sin,

g(x)=tan.

令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,

得-<x<+,k∈Z,

所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z).

23.解析　(1)∵ω=,

∴最小正周期T===2π.

令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),∴函数f(x)图像的对称中心是(k∈Z).

(2)令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.

∴函数y=tan的图像与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左,右两侧分别无限接近直线x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图).

能力提升练

一、单项选择题

1.D　当<x<π时,tan x<sin x,此时y=tan x+sin x+tan x-sin x=2tan x<0;

当x=π时,y=0;当π<x<时,tan x>sin x,此时y=2sin x<0.结合选项知D中的图像符合,故选D.

2.C　因为函数y=|tan x|的最小正周期为π,且由|tan x|=1可得x=kπ±(k∈Z),

所以函数y=|tan x|的图像与直线y=1的相邻两个交点之间的距离为函数y=|tan x|的半个周期,即.

3.A　因为x∈,且0<ω<1,

所以0≤ωx≤<,

所以f(x)max=tan==tan,

所以=,解得ω=.

4.C　∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), 且f=1,

∴f=mtan-ksin+2=m-k+2=1,

∴m-k=-1,

∴f=mtan-ksin+2=-m+k+2=3.

二、多项选择题

5.AC　A正确,sin 145°=sin 35°<1,tan 47°>1,故sin 145°<tan 47°;

B错误,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期为;

C正确,∵≤x<,∴由函数的单调性可知y=2tan x≥2;

D错误,函数y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上是增函数,但不能说其在第一、四象限是增函数.故选AC.

6.AC　f(x)=tan x的周期为π,故A正确;函数f(x)=tan x为奇函数,故B不正确;C表明函数为增函数,而f(x)=tan x为区间上的增函数,故C正确;由函数f(x)=tan x的图像可知,函数在区间上有f>,在区间上有f<,故D不正确.

三、填空题

7.答案　(k∈Z)

解析　令t=x+,则y=|tan t|的单调递增区间为(k∈Z).

令kπ≤x+<kπ+(k∈Z),得kπ-≤x<kπ+(k∈Z).

8.答案　0

解析　由x∈可得-1≤tan x-1≤0,所以由“∀x∈,tan x-1≤m”是真命题可得m≥0,即实数m的最小值为0.

9.答案　

解析　由题意可得kπ+≤2x+<kπ+,k∈Z,

所以kπ≤2x<kπ+,k∈Z,

所以≤x<+,k∈Z.

所以不等式的解集为

.

10.答案　或-

解析　因为是函数f(x)图像的一个对称中心,所以+φ=,k∈Z,所以φ=-,k∈Z.因为|φ|<,所以k=0或k=1.取k=0,则φ=-;取k=1,则φ=.

四、解答题

11.解析　(1)∵f(x)=3tan

=-3tan,

∴函数f(x)的最小正周期为T==4π.

令kπ-<-<kπ+,k∈Z,

得4kπ-<x<4kπ+,k∈Z,

∴函数y=3tan的单调递增区间为,k∈Z,

∴函数f(x)=3tan的单调递减区间为,k∈Z.

(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,

f=3tan=3tan

=-3tan.

∵0<<<,且y=tan x在上单调递增,

∴tan<tan,

∴-3tan>-3tan,即f(π)>f.

12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.

∵x∈[-1,],

∴当x=时, f(x)取得最小值,即f(x)min=f=-;

当x=-1时, f(x)取得最大值,即f(x)max=f(-1)=.

(2)由题知g(x)=x-+2tan θ.

∵g(x)为奇函数,

∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,

∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.

(3)函数f(x)的图像的对称轴为x=-tan θ.

∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,

∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,

即tan θ≥1或tan θ≤-,

∴+kπ≤θ<+kπ(k∈Z)或-+kπ<θ≤-+kπ(k∈Z),

故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.