高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词教案配套课件ppt

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全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,　　　　,也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题. 
知识点一　含有一个量词的全称量词命题的否定
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”. (　　)(2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“所有奇数的平方都不是奇数”.(　　)
[解析] “所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个(或有些)菱形不是平行四边形”.
[解析] “任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些(或存在一个)奇数的平方不是奇数”.
(3)“每个平行四边形都是中心对称图形”的否定是“存在一个平行四边形不是中心对称图形”.(　　)
[解析] “每个平行四边形都是中心对称图形”的否定是“存在一个平行四边形不是中心对称图形”.
知识点二　含有一个量词的存在量词命题的否定
存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　,也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题. 
∀x∈M,?p(x)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“∀x∈R,|x|≤0”.(　　)(2)“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M,?p(x)”的真假性相反.(　　)
[解析]由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.
[解析]存在量词命题与其否定一真一假.
(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(　　)
[解析]存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
1.全称量词命题的否定:全称量词命题的否定是一个存在量词命题,对全称量词命题进行否定时,既要将全称量词改为存在量词又要否定结论.2.存在量词命题的否定:存在量词命题的否定是一个全称量词命题,对存在量词命题进行否定时,既要将存在量词改为全称量词又要否定结论.
3.对全称量词命题与存在量词命题关系的认识(1)结构关系的认识:全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质,无一例外.而存在量词命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)真假性的认识:全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反,存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∀n∈Z,n∈Q;(2)∀a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根;(3)任何一个平行四边形的两条对角线都相等;(4)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解.
探究点一　全称量词命题的否定
解:(1)该命题的否定:∃n∈Z,n∉Q.假命题.(2)该命题的否定:∃a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根.真命题.(3)该命题的否定:存在一个平行四边形,它的两条对角线不相等.真命题.(4)该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.真命题.
变式 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)任何一个圆都是轴对称图形;(2)∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2;(3)可以被5整除的整数,其个位数是0.
解:(1)真命题.该命题的否定: 存在一个圆不是轴对称图形.(2)假命题.该命题的否定: ∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.(3)假命题.该命题的否定: 存在被5整除的整数,其个位数不是0.
[素养小结](1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)有些素数是奇数;(2)∃x∈R,3x+5≥0;(3)有些平行四边形不是正方形.
探究点二　存在量词命题的否定
解:(1)该命题的否定:所有的素数都不是奇数.假命题.(2)该命题的否定:∀x∈R,3x+5<0.假命题.(3)该命题的否定:所有的平行四边形都是正方形.假命题.
[素养小结]存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词.要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则就是假命题.
探究点三　全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 命题“∃x∈R,x2-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　. 
[解析] 依题意,命题“∃x∈R,x2-a<0” 是假命题,则它的否定“∀x∈R,x2-a≥0”是真命题,所以a≤x2对x∈R恒成立,所以a≤0.
变式 已知命题p“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,求k的取值范围.
解:∵命题p“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,∴“∃x∈{x|1≤x≤2},x2-k<1”为真命题,当1≤x≤2时,1≤x2≤4,∴k+1>1,得k>0,故当p为假命题时,k的取值范围为k>0.
[素养小结](1)p与p的否定只能一真一假,解决问题时可以相互转化.(2)求参数范围问题,往往分离参数,转化成求函数的最值问题.
1.含有一个量词的命题的否定要注意的问题:(1)确定命题类型,是全称量词命题还是存在量词命题.(2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
2.关键量词的否定:(1)常用全称量词的否定:
(2)常用存在量词的否定:
(3)一些常见判断词的否定:
(4)对省略量词的命题的否定:对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.
例 写出下列命题的否定:(1)奇数的平方还是奇数;(2)平行四边形都是中心对称图形.
解:(1)这个命题是全称量词命题,省略了量词“任意”,其否定为:存在一个奇数的平方不是奇数.(2)这个命题是全称量词命题,省略了量词“每个(任意)”,其否定为:存在一个平行四边形不是中心对称图形.
3.含量词命题的真假问题,直接判断含有一个量词的全称量词命题(存在量词命题)的真假较为困难时,可借助全称量词命题与存在量词命题的关系,转化为判断其否定的真假性问题,达到化难为易的目的.
1.已知命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则p的否定是(　　)A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根
[解析] 命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即“对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根”.
2.[2021·北京清华大学附中高一月考] 命题p:∀x∈N,x3>1,则p的否定为(　　)A.∀x∈N,x3<1B.∀x∉N,x3≥1C.∃x∉N,x3≥1 D.∃x∈N,x3≤1
[解析] 命题p“∀x∈N,x3>1”的否定为:∃x∈N,x3≤1,故选D.
3.命题“∃x,y∈N,x2+y2=2021”的否定为(　　)A.∀x,y∈N,x2+y2≠2021B.∃x,y∈N,x2+y2≠2021C.∀x,y∈N,x2+y2=2021D.不存在x,y∈N,x2+y2=2021
[解析] 含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.所以原命题的否定为“∀x,y∈N,x2+y2≠2021”.
4.下列说法错误的是(　　)A.“能被2整除的数是偶数”的否定为“存在一个能被2整除的数不是偶数”B.“有些矩形是正方形”的否定为“所有的矩形都不是正方形”C.“有的三角形为正三角形”的否定为“所有的三角形不都是正三角形”D.“∃x∈R,x2+x+2≤0”的否定为“∀x∈R,x2+x+2>0”
[解析] 易知A,B,D中说法正确.对于C,“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为“所有的三角形都不是正三角形”,故C中说法错误.故选C.