陕西省西安市未央区西航一中名校教育共同体2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年陕西省西安市未央区西航一中名校教育共同体九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列关于的方程中，一元二次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知菱形的对角线、的长度分别为和，则菱形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，直线，，被直线，所截，交点分别为点，，和点，，已知，且，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

5. 如图所示的图形是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在▱中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

8. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是(    )
    

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 若，则______．
10. 正方形的对角线长为，面积为______．
11. 袋子中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了次后，发现有次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个．
12. 已知线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，那么较长的线段的长是______厘米．
13. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为______．
     

三、解答题（本大题共12小题，共94分）

14. 解方程：．
15. 解方程：．
16. 解分式方程：．
17. 如图，已知在中，，请运用尺规作图法在边求作一点，使得保留作图痕迹．不写作法．

18. 如图，在中，，，，是上一点，，，垂足为，求的长

19. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
    求证：四边形是矩形．
    若，，求矩形的面积．

20. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍得到．
    在图中的第一象限内画出符合要求的不要求写画法；
    求的面积．

21. 一只不透明的袋子中装有个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．
    搅匀后从中任意摸出个球，这个球是白球的概率为______；
    搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出个球，求次摸到的球恰好是个白球和个红球的概率．请用画树状图或列表等方法说明理由
22. 如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过杆的顶端刚好看到塔顶，若小明的眼睛离地面米，杆顶端离地面米，小明到杆的距离米，杆到塔底的距离米，、、在同一直线上且于，交于点，求这座古塔的高度．

23. 深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在年春节长假期间，接待游客达万人次，预计在年五一长假期间，接待游客奖达万人次．
    一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗元，借鉴经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗．
    求出至年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
    为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润元？
24. 如图，中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，同时动点从点出发以的速度向点移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为．
    运动几秒时，为等腰三角形？
    为何值时，的面积等于面积的？
    在运动过程中，的长度能否为？试说明理由．

25. 如图，在正方形中，点是边上的一动点，点是上一点，且，、相交于点．
    求证：≌；
    求的度数；
    若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，含有两个未知数，不符合题意；
B、该方程不是整式方程，不符合题意；
C、，未知数的最高次数为次，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义依次判断即可．
本题主要考查一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
菱形的周长为：．
故选：．
根据菱形的对角线性质，得出两条对角线的一半为与然后可用勾股定理求出其边长．
此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题关键是确定的值由负数变到正数时的范围．
由表格可发现的值在正数、负数之间变号时对应的的范围，即可得到答案．
【解答】
解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为和之间．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据立方体的组成可得出：
A、是几何体的左视图，故此选项错误；
B、不是几何体的三视图，故此选项正确；
C、是几何体的主视图，故此选项错误；
D、是几何体的俯视图，故此选项错误；
故选：．
根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为的结果数，进而求出相应的概率．
本题考查用列表法求概率．掌握用列表法求概率的步骤是解题的关键．
【解答】
解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中“和为”的有种，
．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
∽，
：：，
：：，
，
：：．
故选：．
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出∽，再根据：：即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出：的值，由即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．
如图，作，交于，交于设，则，利用相似三角形的判定与性质解决问题即可．
【解答】
解：如图，作，交于，交于．

四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，设，则，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知，用表示、表示、表示，代入分式计算即可．
本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
正方形的面积，
故答案为：．
根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：
摸了次后，发现有次摸到红球，
摸到红球的频率．
袋子中有红球、白球共个，
这个袋中红球约有个．
故答案为：．
首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，
较长的线段的长．
故答案为．
直接根据黄金分割的定义求解．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了翻折变化折叠问题，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，，过作垂直，利用勾股定理及面积法求出与的长，即可确定出坐标．
【解答】
解：由折叠得：，，

矩形，
，，，
，
，
，
，
，
设，则有，
在中，根据勾股定理得：
解得：，即，，
过作，
，
，，
则
故答案为  

14.【答案】解：移项得，
两边同加上，
得，
即，
利用开平方法得或，
原方程的根是，． 

【解析】先移项，得，再在两边同时加上，再利用平方法即可解．
本题主要考查配方法解一元二次方程．
 

15.【答案】解：，
，
，
或，
，． 

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
 

16.【答案】解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
是分式方程的增根，
原方程无解． 

【解析】根据解分式方程的步骤依次计算可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的基本步骤．
 

17.【答案】解：如图所示，点即为所求．
 

【解析】作出线段的垂直平分线，与的交点即为所求点．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质和线段垂直平分线的尺规作图．
 

18.【答案】解：，，
∽，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明∽是本题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形．

解：在菱形中，，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是． 

【解析】由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．
本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求．


的面积为． 

【解析】根据位似变换的定义作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可得；
利用割补法求解可得．
本题主要考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

21.【答案】 

【解析】解：一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出个球，则摸出白球的概率为：．
故答案为：；
画树状图如图所示：

共有种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有种，
次摸到的球恰好是个白球和个红球的概率为．
直接利用概率公式求解即可求得答案；
用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

22.【答案】解：小明、竹竿、古塔均与地面垂直，，
，，，
小明眼睛离地面，竹竿顶端离地面，
，
，
∽
，
，
即，
解得：，
，
答：古塔的高度是． 

【解析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，可知，，再小明眼睛离地面，竹竿顶端离地面求出的长，由于可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例可求出的长，进而得出的长．
本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：可设年平均增长率为，依题意有
，
解得，舍去．
答：年平均增长率为；

设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有
，
解得，，
每碗售价不得超过元，
．
答：当每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元． 

【解析】可设年平均增长率为，根据等量关系：年五一长假期间，接待游客达万人次，在年五一长假期间，接待游客将达万人次，列出方程求解即可；
可设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

24.【答案】解：经过秒后，，，
若为等腰三角形，
则，即，
解得：，
运动秒时，为等腰三角形；
当的面积等于面积的时，
即，
整理得：，
解得：，，
经过或秒后，的面积等于面积的；
，
，
整理得：，
，
此方程无实数解，
在运动过程中，的长度不能为． 

【解析】根据列方程求解即可；
根据的面积等于面积的，列出关于的方程，解方程即可；
根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，的长度能否为．
本题考查了动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，特别是注意分类讨论．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌．

解：≌，
，
，
，
，
．

解：，
，，
，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据证明即可．
利用全等三角形的性质即可解决问题．
首先证明，根据即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．