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高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.2 平面优质课课件ppt
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.2 平面优质课课件ppt，共30页。
1.了解直线与平面垂直的形成背景.2.理解直线与平面垂直的概念.3.掌握直线与平面垂直的判定定理.4.掌握直线与平面垂直的性质定理.核心素养：逻辑推理、直观想象
（1）直线和平面垂直时，可以得到直线和平面内任意一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来了方便.简述为“若线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线互相垂直时经常使用的一种重要方法.（2）两个重要结论①过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；②过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
1.判定定理可以简记为：“若线线垂直，则线面垂直”.2.要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，不用考虑这两条相交直线是否和已知直线有公共点.
［多选题］如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是（ ）A.①B.②C.③D.④
三、直线与平面垂直的性质定理
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
四、点、直线与平面的距离
五、直线与平面所成的角
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为（ ）A.30° B.45° C.60° D.135°
一 直线与平面垂直的判定及证明
例1 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝ SB＝SC.（1）求证：SD⊥平面ABC.（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
解题提示：由题设条件可知三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证（1），需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，可利用等腰三角形底边上的中线的性质；要证（2），需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，可利用（1）的结论.
证明：（1）∵ SA＝SC，D是AC的中点，∴ SD⊥AC.在Rt△ABC中，由题意得AD＝DC＝DB.∵ SA＝SB，SD为公共边，∴ △SDB≌△SDA，∴ ∠SDB＝∠SDA＝90°，∴ SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴ SD⊥平面ABC.（2）∵ AB＝BC，D是AC的中点，∴ BD⊥AC.又由（1）知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴ BD⊥平面SAC.
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的一般步骤（1）在平面内找出两条直线与已知直线垂直；（2）确定与已知直线垂直的两条直线相交；（3）利用判定定理下结论.
如图，在三棱锥A-BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD.
二 直线与平面垂直的性质定理的应用
例 2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.
解题提示：连接AB1，B1C，可证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.
证明：如图，连接AB1，B1C，B1D1，BD，∵ DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴ DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴ AC⊥平面BDD1B1，∴ AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴ BD1⊥平面AB1C.∵ EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴ EF⊥B1C.又EF⊥AC，B1C∩AC＝C，∴ EF⊥平面AB1C，∴ EF∥BD1.
计算直线与平面夹角的常用思路（1）直接计算：在图形中作出直线与平面的夹角，然后利用解三角形的方法计算出所求角的三角函数值，进而确定直线与平面夹角的大小.其中确定直线在平面内的射影是关键.（2）间接计算：通过空间关系（例如等体积关系）计算出直线上一点到平面的距离，然后利用这个距离除以该点和直线与平面交点之间的线段长即得所求角的正弦值.
如图，已知点P是正四面体ABCD的棱AC的中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为 .
四 求点、直线到平面的距离
解题提示：（1）取PD的中点F，连接AF，EF，可得四边形ABEF为平行四边形，进而得出BE∥AF，转化为证明AF⊥平面PCD；（2）由AB∥CD可得AB∥平面PCD，则直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离即AF，在△PAD中求出AF的长即可.
点、直线到平面的距离的求法（1）直接法（也称定义法）：即直接找出或作出符合要求的线段，按“一找、二证、三计算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一垂线段.（2）转移法：转移法是指将此点（或直线）到平面的距离转化为另一点（或该直线上一点）到该平面的距离.在用直接法不易求解时，可考虑利用与平面平行的直线上各点到该平面的距离都相等的性质进行转化.
五 线面垂直的探究性问题
例 5 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？
如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图（2）.（1）求证：DE∥平面A1CB.（2）求证：A1F⊥BE.（3）线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ？判断并说明理由.
知识清单：（1）直线与平面垂直的定义、表示.（2）直线与平面垂直的判定定理.（3）直线与平面垂直的性质定理.（4）点面距、线面距，线面角.易错提醒：判定线面垂直时忽略判定定理的条件致误.
1.了解直线与平面垂直的形成背景.2.理解直线与平面垂直的概念.3.掌握直线与平面垂直的判定定理.4.掌握直线与平面垂直的性质定理.核心素养：逻辑推理、直观想象
（1）直线和平面垂直时，可以得到直线和平面内任意一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来了方便.简述为“若线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线互相垂直时经常使用的一种重要方法.（2）两个重要结论①过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；②过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
1.判定定理可以简记为：“若线线垂直，则线面垂直”.2.要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，不用考虑这两条相交直线是否和已知直线有公共点.
［多选题］如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是（ ）A.①B.②C.③D.④
三、直线与平面垂直的性质定理
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
四、点、直线与平面的距离
五、直线与平面所成的角
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为（ ）A.30° B.45° C.60° D.135°
一 直线与平面垂直的判定及证明
例1 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝ SB＝SC.（1）求证：SD⊥平面ABC.（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
解题提示：由题设条件可知三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证（1），需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，可利用等腰三角形底边上的中线的性质；要证（2），需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，可利用（1）的结论.
证明：（1）∵ SA＝SC，D是AC的中点，∴ SD⊥AC.在Rt△ABC中，由题意得AD＝DC＝DB.∵ SA＝SB，SD为公共边，∴ △SDB≌△SDA，∴ ∠SDB＝∠SDA＝90°，∴ SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴ SD⊥平面ABC.（2）∵ AB＝BC，D是AC的中点，∴ BD⊥AC.又由（1）知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴ BD⊥平面SAC.
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的一般步骤（1）在平面内找出两条直线与已知直线垂直；（2）确定与已知直线垂直的两条直线相交；（3）利用判定定理下结论.
如图，在三棱锥A-BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD.
二 直线与平面垂直的性质定理的应用
例 2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.
解题提示：连接AB1，B1C，可证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.
证明：如图，连接AB1，B1C，B1D1，BD，∵ DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴ DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴ AC⊥平面BDD1B1，∴ AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴ BD1⊥平面AB1C.∵ EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴ EF⊥B1C.又EF⊥AC，B1C∩AC＝C，∴ EF⊥平面AB1C，∴ EF∥BD1.
计算直线与平面夹角的常用思路（1）直接计算：在图形中作出直线与平面的夹角，然后利用解三角形的方法计算出所求角的三角函数值，进而确定直线与平面夹角的大小.其中确定直线在平面内的射影是关键.（2）间接计算：通过空间关系（例如等体积关系）计算出直线上一点到平面的距离，然后利用这个距离除以该点和直线与平面交点之间的线段长即得所求角的正弦值.
如图，已知点P是正四面体ABCD的棱AC的中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为 .
四 求点、直线到平面的距离
解题提示：（1）取PD的中点F，连接AF，EF，可得四边形ABEF为平行四边形，进而得出BE∥AF，转化为证明AF⊥平面PCD；（2）由AB∥CD可得AB∥平面PCD，则直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离即AF，在△PAD中求出AF的长即可.
点、直线到平面的距离的求法（1）直接法（也称定义法）：即直接找出或作出符合要求的线段，按“一找、二证、三计算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一垂线段.（2）转移法：转移法是指将此点（或直线）到平面的距离转化为另一点（或该直线上一点）到该平面的距离.在用直接法不易求解时，可考虑利用与平面平行的直线上各点到该平面的距离都相等的性质进行转化.
五 线面垂直的探究性问题
例 5 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？
如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图（2）.（1）求证：DE∥平面A1CB.（2）求证：A1F⊥BE.（3）线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ？判断并说明理由.
知识清单：（1）直线与平面垂直的定义、表示.（2）直线与平面垂直的判定定理.（3）直线与平面垂直的性质定理.（4）点面距、线面距，线面角.易错提醒：判定线面垂直时忽略判定定理的条件致误.
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