新高考数学一轮复习讲义4.1《任意角、弧度制及任意角的三角函数》(2份打包，解析版+原卷版)

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1．角的概念
(1)角的分类(按旋转的方向)
角eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按照逆时针方向旋转而成的角.,负角：按照顺时针方向旋转而成的角.,零角：射线没有旋转.))
(2)象限角
(3)终边相同的角
所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r，
扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2.
3．任意角的三角函数的定义
α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标(x，y)，它与原点的距离OP＝r＝eq \r(x2＋y2) (r>0)，
则sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)；tan α＝eq \f(y,x)；
ct α＝eq \f(x,y)；sec α＝eq \f(r,x)；csc α＝eq \f(r,y).
4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线
(1)三角函数在各象限的符号：
(2)三角函数线：
正弦线 如图，角α的正弦线为eq \(MP,\s\up6(→)).
余弦线 如图，角α的余弦线为eq \(OM,\s\up6(→)).
正切线 如图，角α的正切线为eq \(AT,\s\up6(→)).
概念方法微思考
1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？
提示 设点P到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同．( × )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( √ )
题组二 教材改编
2．角－225°＝______弧度，这个角在第______象限．
答案 －eq \f(5π,4) 二
3．若角α的终边经过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，则sin α＝____，cs α＝________.
答案 eq \f(\r(2),2) －eq \f(\r(2),2)
4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
答案 eq \f(π,3)
题组三 易错自纠
5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
6．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(11π,6) D.eq \f(5π,3)
答案 C
解析 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，
所以根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以θ＝eq \f(11π,6).
7．在0到2π范围内，与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是________．
答案 eq \f(2π,3)
解析 与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))(k∈Z)，令k＝1，可得与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是eq \f(2π,3).
8．(2018·赤峰模拟)函数y＝eq \r(2cs x－1)的定义域为____________________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
解析 ∵2cs x－1≥0，
∴cs x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).
题型一 角及其表示
1．下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
答案 C
解析 与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
2．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
3．(2018·沈阳质检)终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为____________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))
解析 如图，在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，在[0,2π)内，终边在直线y＝eq \r(3)x上的角有两个：eq \f(π,3)，eq \f(4,3)π；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－eq \f(2,3)π，－eq \f(5,3)π，故满足条件的角α构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).
4．若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角．
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角，
∴eq \f(π,2)＋2kπ