无锡市锡山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

无锡市锡山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1．请判别下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．  B．  C．  D．3x＋8＝6x＋2

2．在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．一元二次方程＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．九年级（1）班的5名同学参加学校举办的青少年图书教育活动讲故事比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7，这组数据的中位数和平均数分别为（　　）

A．7，7.8 B．7，7.6 C．8，7.8 D．8，7.6

5．如果将抛物线y＝向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝60cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则树高AB为（　　）

A．5米 B．6.5米 C．7米 D．7.5米

（第6题图）           （第8题图）        （第9题图）        （第10题图）

7．圆锥的底面圆半径是3cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是（　　）

A．9π B．12π C．15π D．20π

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为（　　）

A．2 B．2C．5D．10

10．如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则a的值为▲．

12．已知，则的值为▲．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，BE＝CD＝4，则OA＝▲．

（第13题图）            （第14题图）           （第15题图）

14．如图的转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为120°，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是▲．

15．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是▲．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则点C到DF的距离为▲，的值是▲．

（第16题图）                             （第17题图）

17．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），⊙M的半径为2．当圆心M与点O重合时，⊙M与直线AB的位置关系为▲；若圆心M从点O开始沿x轴移动，当OM＝▲时，⊙M与直线AB相切．

18．若二次函数（a＞0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是

▲．

三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分8分）解方程：（1）；（2）．

20．（本题满分8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠ADB＋∠BAC＝180°．

（1）求证：△ABC∽△DAC；

（2）若AC＝4，BC＝8，求CD的长．

21．（本题满分8分）2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元．

（1）求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；

（2）若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？

22．（本题满分8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°．

（1）求∠B的大小；

（2）已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．

23．（本题满分8分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：

3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4

根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

（1）表格中的a＝▲，b＝▲；

（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为▲，中位数为▲；

（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．

24．（本题满分8分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是▲；

（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

25．（本题满分8分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，BC＝8，点O为边AB中点．

（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在BC上作一点D，使得BD＝AC＋CD；（不写作法，保留作图痕迹．）

（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝2，则Rt△ABC的面积为▲．

26．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，CD＝6．求AE的长．

27．（本题满分12分）已知抛物线y＝≠0）的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接AO交该抛物线于点E，且AE：OE＝1：3．

（1）求点A的坐标和该抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

28．（本题满分12分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m.

（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF．

①当m＝时，请直接写出线段CF的长为▲；

②设CP＝n，请求出n与m的关系式；

（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1．B；

2．D；

3．A；

4．C；

5．D；

6．B；

7．B；

8．C；

9．C；

10．A；

二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11．1；          12．；          13．10；          14．；          15．144；

16．；；          17．相离；或【有一个答对可得2分】；           18．；

三、解答题（本大题共10 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分8分）

（1），；………………………………4分

（2），；………………………………8分

20．（本题满分8分）

（1）∵∠ADB＋∠BAC＝180°，∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠BAC＝∠ADC，………………………………2分

又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC．………………………………4分

（2）∵△ABC∽△DAC，∴＝，………………………………6分

∵BC＝8，AC＝4，∴，解得CD＝2．………………………………8分

∴CD的长为2．

21．（本题满分8分）（1）设该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，

依题意得：，

解得：（不合题意，舍去）．

答：该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%；…………………………6分

（2）4900×（1＋40%）＝6860（元），

∵6860＞6800，∴2023年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6800元．…………………………8分

22．（本题满分8分）（1）∵∠CAB＝∠CDB，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°，

又∵∠APD＝65°，∠APD＝∠B＋∠CDB，

∴∠B＝65°－40°＝25°；…………………………4分

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则圆心O到BD的距离OE＝4，

∵AB是⊙O的直径，OE⊥BD，

∴AE＝DE，又∵O是AB的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD＝2OE＝8．…………………………8分

23．（本题满分8分）

（1）4，5；…………………………2分

（2）4，4；…………………………6分

（3）300×＝90（人）．…………………………8分

答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．

24．（本题满分8分）（1）；…………………………2分

（2）画树状图如下：

…………………………5分

共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，…………………7分

∴P（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝．…………………8分

25．（本题满分8分）

（1）如图，点D即为所求；（其它方法参考以下评分标准）

CE＝AC，…………………………2分

BE的垂直平分线，…………………………4分

点D，…………………………5分

（2）16．…………………………8分

26．（本题满分10分）（1）证明：连接OC（如图），

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴＝，

∴∠CAB＝∠DAB．

∵∠COB＝2∠CAB，∴∠COB＝2∠BAD．

∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝∠COB．

∵AB⊥CD，∴∠COB＋∠OCH＝90°，

∴∠OCH＋∠ECD＝90°，即∠OCE＝90°．∴OC⊥CF．

又∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；……………………………………5分

（2）∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CH＝DH＝＝3．

∴OH＝＝4，

∵OC⊥CF，CH⊥OE，∴△OCH∽△OEC，

∴＝∴＝解得OE＝．

∴AE＝OA＋OE＝＝；……………………………………10分

27．（本题满分12分）（1）由抛物线y＝的对称轴为直线x＝－2，

当x＝－2时，y＝－1，∴A(－2，－1)，……………………………………1分

∵AE：OE＝1：3，∴OE：OA＝3：4，

如图，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，

∵EF∥AM，∴△OFE∽△OMA，∴＝＝＝，

∴EF＝，OF＝，∴，

把点代入抛物线表达式y＝，得a＝1，

∴该抛物线的表达式为y＝；……………………………………4分

（2）（－2，5），（－2，5），（－2，），（－2，）……………………12分

28．（本题满分12分）（1）①；……………………………………3分

②∵∠BAE＝∠FEC，∠B＝∠ECP＝90°，

∴△BAE∽△CEP，∴ ＝，

即，∴CP＝，即n＝；……………………………………7分

（2）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，

则AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，

∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠QAD＝∠BAE＋∠GAB＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，

∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三点共线，

又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ(SAS)，

∴∠AEG＝∠AEQ，

∴∠QEP＝∠CEP，∴h＝CP，

∴h＝＝，

当m＝时，h有最大值为．……………………………………12分