江苏省无锡市锡山区锡东片2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

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1．一元二次方程x2﹣16＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x1＝4，x2＝﹣4
C．x1＝8，x2＝﹣8D．x1＝16，x2＝﹣16
2．已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＝1B．m≥1C．m＜1D．m≠0
3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（ ）
A．25-2B．2-5C．25-1D．5-2
5．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10πB．15πC．20πD．25π
6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
7．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．125°
第7题图 第8题图
8．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD=ABBC；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
第9题图 第10题图
10．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．
12．若yx=34，则x+yx的值为 ．
13．若关于x的一元二次方程的一个根是﹣1，则另一个根是 ．
14．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．
15．如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，DE＝3，则BC＝ ．​
第15题图 第17题图 第18题图
16．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 ．
17．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当△AFD的面积为时，△ABC的面积为 ．
18．矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝3，则DN的长为 ．
解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x2+6x﹣16＝0
20．（8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）求证：该方程总有两个实数根．
21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD ∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求EC的长．
22．（10分）如图，∠BAC＝90°，点A在⊙O上，过点O作BA的平行线交AC于点E，交过点C的直线于点D，且∠D＝∠BCA．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，BC＝23，求CE的长．
23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．
（1）若每件降价2元，则每天可销售 件；
（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．
（1）求证：∠BAC＝∠E；
（2）若AB＝8，DC＝2，CE=310，求CF的长．
25．（10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．
（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的作图条件下，当AP＝25时，求线段AM的长度．
姓名：________ 班级：________ 考号：________
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；②；③6x2+x＝0；④，这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写出a，b，c的等量关系．
27．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝4，∠ABC＝60°．点P为射线BC上一点，以BP为直径作⊙O交AB、DC于E、F两点．设⊙O的半径为x．
（1）如图2，当⊙O与DP相切时，x＝ ．
（2）如图3，当点P与点C重合时，
①求线段CE长度；
②求阴影部分的面积；
（3）当⊙O与平行四边形ABCD边所在直线相切时，求x的值；
28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．
（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，
①求CF的长；
②求PF的长；
（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；
（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求的值.