第3讲对角互补模型（原卷+解析）学案

中考数学几何模型3：对角互补模型

名师点睛                                                  拨开云雾  开门见山

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：

；

；

                                                      作法1               作法2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：

；

；

作法1               作法2

类型二：含120°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：

；

；

                                                      作法1               作法2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：

；

；

作法1               作法2

典题探究                                                  启迪思维  探究重点

例题1. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，

重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，

当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，

如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，

∴△OEG≌△OFH，

∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．

变式练习>>>

1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，

OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM＝ON；

例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条

对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

【解答】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，

则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，

所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，

又因为AC＝AC′，

所以△ACC′是等腰直角三角形，

在△ABC和△ADC′中

∴△ABC≌△ADC′（SAS），

∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，

所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．

变式练习>>>

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.

答案：

例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　3　．

【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，

∴四边形PQBR是矩形，

∴∠QPR＝90°＝∠MPN，

∴∠QPE＝∠RPF，

∴△QPE∽△RPF，

∴＝＝2，

∴PQ＝2PR＝2BQ，

∵PQ∥BC，

∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，

∴2x+3x＝3，

∴x＝，

∴AP＝5x＝3．

故答案为3．

变式练习>>>

3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．

∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，

∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，

∵OB＝OF，

∴OE＝OB＝OF＝OC，

∴B，C，F，E四点共圆，

∴∠EBF＝∠ECF，

∴tan∠EBF＝tan∠ACD，

∴＝＝，

故选：B．【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】

例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与

这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时

针方向旋转．

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；

（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．

【解答】解：（1）BE＝CF．

证明：在△ABE和△ACF中，

∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF．

∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（3）能．

△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，

∵△AEC的面积等于，

∴底边CE＝2，

∴BE＝6或2．

变式练习>>>

4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．

（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；

（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．

①不管t为何值，E点总是“完美点”；

②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．

【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”

∴x＝y

∵x+y＝4

∴x＝2，y＝2

∴A点坐标（2，2）

（2）①∵四边形OABC是正方形，

点A坐标为（0，4），

∴AO＝AB＝BC＝4

∴B（4，4）

设直线OB解析式y＝kx过B点

∴4＝4k

k＝1

∴直线OB解析式y＝x

设点E坐标（x，y）

∵点E在直线OB上移动

∴x＝y

∴不管t为何值，E点总是“完美点”．

例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．

（1）利用图1，求证：PA＝PB；

（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F

∵四边形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，

∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，

∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，

∴∠EPA＝∠FPB，

由角平分线的性质，得PE＝PF，

∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；

（2）∵S△POB＝3S△PCB，

∴PO＝3PC，

由（1）可知△PAB为等腰三角形，则

∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，

又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），

∴△PBC∽△POB，

∴＝，

即PB2＝PO•PC＝3PC2，

∴＝

达标检测                                                  领悟提升  强化落实

1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.

答案：①②③

2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.

答案：

3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接

BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：

（1）CF的长；

（2）OF的长．

【解答】解：（1）如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，

∵RT△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC＝∠ECF，

∵∠OBC＝∠OCD＝45°，

∴∠OBG＝∠OCF，

在△OBG与△OCF中，

，

∴△OBG≌△OCF（SAS），

∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，

∴OG⊥OF，

在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，

∴EC＝2，

∴BE＝＝＝2，

∵BC2＝BF•BE，

则62＝BF•2解得：BF＝，

∴EF＝BE﹣BF＝，

∵CF2＝BF•EF，

∴CF＝；

4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　DE+DF＝AD　；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，

∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，

∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，

∴∠APE＝∠DPF，

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE＝DF，

∴DE+DF＝AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，

∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，

∴△MDP是等边三角形，

∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，

∵∠PAM＝30°，

∴∠MPD＝60°，

∵∠QPN＝60°，

∴∠MPE＝∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

∴△MPE≌△DPF（ASA）

∴ME＝DF，

∴DE+DF＝AD；

5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”

（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　1　；

（2）数学思考：

①如图3，若点E在线段AC上，则＝　　（用含m，n的代数式表示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；

（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．

【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝1，∴＝1，

故答案为1．

（2）①∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，∴＝，

故答案为．

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，

∵＝＝，

∴＝＝＝，

∴CF＝2AE，

在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，

∴EF＝＝＝2，

①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，

CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，

根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）

而AC＝＜CE，

∴此种情况不存在，

6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．

（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；

（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.