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专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版)
展开专题08三角函数的应用
选题介绍
本题型属于河南省中招考试的必考题型,每年解答题中均有体现。本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型,所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用,本题型首先会引入一个环境,然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。该题一般为解答题,分值9分,难度系数中等,得分率偏高。
利用三角函数解直角三角形的解题思路:
①找直角三角形(注意找哪些角所在的直角三角形);
②构造直角三角形(题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造,直接解直角三角形,如果不再则需作垂线构造);
③解直角三角形;
④设直角边为x;(直角三角形中有边长时直接求其它边,没有边长时需要设x);
⑤利用三角函数构造关于x的方程。
真题展现
2022年河南中招填空题第19题
- 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°,沿AC方向前进15m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。已知测角仪的高度为1.5m,测量点A、B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求浮云阁DC的高度。(结果精确到1m,参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67).
【答案】32m
【解析】延长EF交DC与M点,在Rt△DMF、Rt△DME中,利用三角函数即可解决问题。
【详解】解:如图所示,延长EF交DC与M点,∠DFM=45°,∠DEM=45°
在Rt△DMF中,设DM=x,
∵△DMF为等腰直角三角形,
∴DM=MF=x
在Rt△DME中,
∵EF=15m,
∴EM=EF+FM=15+x
tan34°==≈0.67
∴x≈30.5m
∴DC=DM+MC=30.5+1.5=32m
答:浮云阁DC的高度为32m.
【总结】本题考查了解直角三角形的应用,仰俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。
声明:试2021年河南中招填空题第19题
19.(9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77).
【答案】17.4 m
【解析】根据tan∠DAC==tan37.5°≈0.77,列出方程即可解决问题.
【详解】解:根据题意可知:∠DAB=45°,
∴BD=AD,
在Rt△ADC中,DC=BD﹣BC=(AD﹣4)m,∠DAC=37.5°,
∵tan∠DAC=,
∴tan37.5°=≈0.77,
解得AD≈17.4m,
答:佛像的高度约为17.4 m.
【总结】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用构建方程的思想思考问题.
2020年河南中招填空题第18题
18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,≈1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.
【答案】(1)12.3m;(2)0.3m,
减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.
【解析】(1)过A作AD⊥PM于D,延长BC交AD于E,则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,于是得到BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,求得CE=AE,设AE=CE=x,得到BE=16+x,解直角三角形即可得到结论;
(2)建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.
【详解】解:(1)过A作AD⊥PM于D,延长BC交AD于E,
则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,
∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,
∵∠AED=90°,∠ACE=45°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴CE=AE,
设AE=CE=x,
∴BE=16+x,
∵∠ABE=22°,
∴tan22°===0.40,
∴x≈10.7(m),
∴AD=10.7+1.6=12.3(m),
答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m;
(2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m,
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3=0.3m,
减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.
【总结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
2019年河南中招填空题第19题
19.(9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.
(精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°=0.83,tan34°≈0.67,≈1.73)
【答案】51m
【解析】由三角函数求出AC=≈82.1m,得出BC=AC﹣AB=61.1m,在Rt△BCD中,由三角函数得出CD=BC≈105.7m,即可得出答案.
【详解】解:∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,CE=55m,
∴tan∠CAE=,
∴AC==≈82.1m,
∵AB=21m,
∴BC=AC﹣AB=61.1m,
在Rt△BCD中,tan60°==,
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7m,
∴DE=CD﹣EC=105.7﹣55≈51m,
答:炎帝塑像DE的高度约为51m.
【总结】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解,难度适中.
2018年河南中招填空题第20题
20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.
如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
【答案】151cm
【解析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.
【详解】解:在Rt△ACE中,
∵tan∠CAE=,
∴AE==≈≈21(cm)
在Rt△DBF中,
∵tan∠DBF=,
∴BF==≈=40(cm)
∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)
∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形,
∴CH=EF=151cm
答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.
【总结】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.
模拟演练
字母型
1. 黄河全长约5464千米,是中国第二长河.位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园,集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能,成为省会郑州的“大氧吧”“后花园”和网红打卡地.周末,小明一家来到黄河滩地公园游玩,小明想测量某段黄河的宽度.如图,小明利用自制测角仪,在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向,沿岸边向东走100步到达B处,并测得对岸C处在南偏东30°方向,请根据以上信息,估算此段黄河的宽度.(结果精确到0.1m.参考数据:一步,)
【答案】303.8m
【解析】过点C作,垂足为D,设,分别利用解直角三角形得到AD、BD的长度,根据,代入求解即可.
【详解】解:过点C作,垂足为D,如解图所示.
由题意,易知,.
设.
在中,∴,
在中,∵,
∵,
解得
答:此段黄河的宽度约为303.8m.
(不同算法,结果不一样.误差范围内即可)
【总结】本题考查了解直角三角形的应用,准确理解题意,能够运用数形结合的思想是解题的关键.
2. 无塔位于河南汝南城南,俗传冬至正午无塔影,故称无影塔.某数学活动小组到汝南测无影塔的高度.如图,他们在点D处测得塔顶A的仰角为,沿直线前行23米至点C,在点C处测得塔顶4的仰角为.已如点B,C,D在同一直线上,请依据相关数据求无影塔的商度(结果精确到.参考数据:).
【答案】无影塔的高度约为25.8米.
【解析】设无影塔的高度为x米,先将BD与BC用含x的代数式表示,再利用三角函数建立方程,最后求解即可.
【详解】解:设无影塔的高度为x米,
在中,,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∴,
∴,
解得:,
答:无影塔的高度约为25.8米.
【总结】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握三角函数的应用.
背靠背型
3.如图,小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布,从点看到瀑布顶端的仰角为,看到瀑布底端的俯角为,若瀑布底有一水潭,点到水潭水平面的距离为,求瀑布顶端到水潭水平面的距离的长.(结果保留整数.参考数据:,
解:如图,过作,垂足为,
则四边形为矩形,
,
由题意得:,,,
在中,,即,
,
在中,,
,
,
答:瀑布顶端到水潭水平面的距离的长约为.
4. 被誉为“天下第一塔”的开封铁塔,八角十三层,其设计精巧,单是塔砖就有数十种图案.铁塔位于铁塔公园的东半部,是园内重要的文物,也是主要的景点,始建于公元年北宋皇祐元年,是年我国首批公布的国家重点保护文物之一,素有“天下第一塔”之称.某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动,具体过程如下:
工具准备:皮尺,测角仪.
方案设计:
如图,开封铁塔垂直于地面,在地面上选取,两处分别测得和的度数(在同一条直线上)
数据收集:
通过实地测量:地面上,两点的距离为,,.
问题解决:
(1)求开封铁塔的高度精确到景点介绍开封铁塔的高度为米,则计算结果的误差为多少?并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么?(参考数据:,,,)
(2)根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
【答案】(1)0.92 m,皮尺未拉直(答案不唯一);
(2)见解析
【解析】(1)设,先证,则,再由锐角三角函数定义得, 然后由得,解得,即;
即开封铁塔的高度约为;误差为;导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.
(2)同(1).
【小问1详解】
解:设,
在中,,
,
,
,
在中,,
,
,
,
,
解得:,
即开封铁塔的高度约为m;
,
即计算结果的误差为 m;
导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.
【小问2详解】
解:设,
在中,,
,
,
,
在中,,
,
,
,
,
解得:,
即开封铁塔的高度约为m;
,
即计算结果的误差为 m;
导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.
【总结】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题,熟练掌握仰角俯角的定义是解题的关键.
活动阅读型
5. 嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内,为北魏时期佛塔.该塔是我国现存最早的砖塔,反映了中外建筑文化交流融合创新的历程,在结构、造型等方面具有很大价值,对后世砖塔建筑有着巨大影响.某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间实地测量.
课题 | 测量嵩岳寺塔的高度 | |
测量工具 | 测量角度的仪器,皮尺等 | |
测量方案 | 在点C处放置高为1.3米的测角仪CD,此时测得塔顶端A的仰角为45°,再沿BC方向走22米到达点E处,此时测得塔顶端A的仰角为32°. | 说明:点E、C、B三点在同一水平线上. |
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:,,)
【答案】嵩岳寺塔的高度约为37.2m
【解析】如图所示,延长FD到G与AB交于点G,先证AG=GD,然后设,则,再由,得到,由此求解即可.
【详解】解:如图所示,延长FD到G与AB交于点G,
由题意得:,∠AGD=90°,
∵∠ADG=45°,
∴∠GAD=45°,
∴AG=GD,
设,则,
∵,
∴,
解得,
∴,
∴,
∴嵩岳寺塔的高度约为37.2m.
【总结】本题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键在于能够根据题意作出辅助线构造直角三角形.
6. 手机测距可以测量物体高度、宽度等,这些测距软件是基于几何学原理设计的.测量时只需要输入身高,再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片,程序就会计算出物体的高度.某款测距提供的测高模式如下:
点都在同一平面内,手机位置为点,待测物体为,且和均与地面垂直.从点处测得顶端的仰角为,底部的俯角为. |
奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度.如图2,经过测量得到,仰角,俯角,求出广告牌的高度(参考数据:,结果精确到0.1).
【答案】3.8m
【解析】通过矩形ABCD的性质可得AB=ED,通过锐角三角函数的定义求得AE和CE的长度,进而求得CD的长度,即可求得最终结果.
【详解】解:如答图,过点作于点.
则.
,
.
∴四边形是矩形.
,
.
∵在中,,
.
∵在中,,
.
.
答:广告牌高度约为.
【总结】本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数的应用,掌握三角函数是解题的关键.
垂直构造型
7.宝轮寺塔中国四大回音建筑之一,位于三门峡市陕州风景区,始建于隋唐时期,因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”.当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度进行测量.因塔底部无法直接到达,制定了如下的测量方案:先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角为,因广场面积有限,无法再向点的正后方移动,故操控无人机飞到点正上方10米的处测得塔尖的仰角为,,,,四点在同一个平面内,求塔高为多少米.(结果精确到0.1米,参考数据:,,
【答案】26.3米
【解析】过点作,垂足为,构造直角三角形,然后里利用三角函数进行求解。
【详解】解:过点作,垂足为,则四边形是矩形,
米,
由题意可知,,
再中,由于,
,
设米,则米,米,
在中,
由得,,
解得(米,
经检验是原方程的解,
即米,
答:塔高约为26.3米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
8. 如图,活动课上,小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度,她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度i=1:1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处,此时,测得点A的俯角是15°.图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上,求出建筑地所在山坡AE的高度AB.(精确到0.1米,参考数据:≈1.41).
【答案】建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米.
【解析】作EF⊥AC于点F,RT△CDE中根据i=1:1知∠CED=∠DCE=45°,RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米,进而可得EF=150米,由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°,在RT△AEF中根据勾股定理可得AB的长度.
【详解】解:作EF⊥AC于点F,
根据题意,CE=20×15=300米,
∵i=1:1,
∴tan∠CED=1,
∴∠CED=∠DCE=45°,
∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°,
∴EF=CE=150米,
∵∠CEF=60°,∠AEB=30°,
∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°,
∴AF=EF=150米,
∴AE= (米),
∴AB=×150≈105.8(米).
答:建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米.
【点睛】考查了仰角和俯角的应用,正确作出辅助线构造直角三角形,理解解直角三角形的条件是关键.
不规则图形构造直角三角形
9. 郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行60米至处,测得正前方河流右岸处的俯角为.线段的长为无人机距地面的铅直高度,点、、在同一条直线上.其中,米.
(1)求无人机的飞行高度;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度.(结果精确到1米,参考数据:,)
【答案】(1)米
(2)316米
【解析】(1)根据题意可得,从而可得∠ACM=α,然后在Rt△ACM中,利用锐角三角函数的定义求出AM的长,即可解答;
(2)过点B作BN⊥DM,垂足为N,根据题意可得AB=MN=60米,AM=BN=米,∠BDC=30°,然后在Rt△BDN中,利用锐角三角函数定义求出DN的长,从而求出DM的长,进行计算即可解答.
【小问1详解】
由题意可知,
∴,,
在中,,米,
∴(米),
答:无人机的飞行高度为米;
【小问2详解】
过点B作,垂足为N,
根据题意可知四边形ABNM为矩形,即有米,米,
∵
∴在中,,
∴米,
∴(米),
∴(米),
答:河流的宽度约为316米.
【总结】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
10. 如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在OA的位置时俯角∠EOA=30°,在OB的位置时俯角∠FOB=60°,若OC⊥EF,点A比点B高7cm,求单摆的长度(结果精确到0.1,参考数据:≈ 1.73).
【答案】单摆的长度约为19.1cm.
【解析】如图,过点A作AP⊥OC于点P,过点B作BQ⊥OC于点Q,由题意得∠EOA=30°、∠FOB=60°,且OC⊥EF,即可得∠AOP=60°、∠BOQ=30°,设OA=OB=x,在Rt△AOP中,OP= x,在Rt△BOQ中,OQ= x,由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程,解方程求得x的值即可.
【详解】解:如图,过点A作AP⊥OC于点P,过点B作BQ⊥OC于点Q,
∵∠EOA=30°、∠FOB=60°,且OC⊥EF,
∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°,
设OA=OB=x,
则在Rt△AOP中,OP=OAcos∠AOP=x,
在Rt△BOQ中,OQ=OBcos∠BOQ=x,
由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7,
解得:x=7+7cm≈19.1cm,
答:单摆的长度约为19.1cm.
【总结】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题意构建直角三角形,利用三角函数的定义表示出所需线段的长度是解题的关键.
专题09 中考20题 不等式、方程与函数的综合讨论题型—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版): 这是一份专题09 中考20题 不等式、方程与函数的综合讨论题型—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版),共10页。
专题09 中考20题 不等式、方程与函数的综合讨论题型—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版): 这是一份专题09 中考20题 不等式、方程与函数的综合讨论题型—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版),共22页。
专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版): 这是一份专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版),共12页。试卷主要包含了5°,求佛像BD的高度.,1m.参考数据等内容,欢迎下载使用。