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    专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版)
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    专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版)

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    这是一份专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(解析版),共24页。试卷主要包含了67,5°,求佛像BD的高度.,7﹣55≈51m,,8m等内容,欢迎下载使用。

    专题08三角函数的应用

    选题介绍

    本题型属于河南省中招考试的必考题型,每年解答题中均有体现。本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型,所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用,本题型首先会引入一个环境,然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。该题一般为解答题,分值9分,难度系数中等,得分率偏高。

    利用三角函数解直角三角形的解题思路:

    找直角三角形(注意找哪些角所在的直角三角形);

    构造直角三角形(题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造,直接解直角三角形,如果不再则需作垂线构造);

    解直角三角形

    设直角边为x;(直角三角形中有边长时直接求其它边,没有边长时需要设x

    利用三角函数构造关于x的方程。

    真题展现

    2022年河南中招填空题第19

    1. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°,沿AC方向前进15m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。已知测角仪的高度为1.5m,测量点AB与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求浮云阁DC的高度。(结果精确到1m,参考数据:sin34°≈0.56cos34°≈0.83tan34°≈0.67.

    答案32m

    析】延长EFDCM点,在RtDMFRtDME中,利用三角函数即可解决问题。

    详解解:如图所示,延长EFDCM点,∠DFM=45°,DEM=45°

    RtDMF中,设DM=x

    DMF为等腰直角三角形,

    DM=MF=x

    RtDME中,

    EF=15m,

    EM=EF+FM=15+x

    tan34°==0.67

    x30.5m

    DC=DM+MC=30.5+1.5=32m

    答:浮云阁DC的高度为32m.

    总结本题考查了解直角三角形的应用,仰俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。

    声明:试2021年河南中招填空题第19

    19.(9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61cos37.5°≈0.79tan37.5°≈0.77).

    【答案】17.4 m

    析】根据tanDACtan37.5°≈0.77,列出方程即可解决问题.

    详解】解:根据题意可知:∠DAB45°,

    BDAD

    RtADC中,DCBDBC=(AD4m,∠DAC37.5°,

    tanDAC

    tan37.5°=0.77

    解得AD17.4m

    答:佛像的高度约为17.4 m

    总结本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用构建方程的思想思考问题.

    2020年河南中招填空题第18

    18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.

    某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m

    1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37cos22°≈0.93tan22°≈0.401.41);

    2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.

    【答案】112.3m;(20.3m

    减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

    析】(1)过AADPMD,延长BCADE,则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,于是得到BCMN16mDECNBM1.6m,求得CEAE,设AECEx,得到BE16+x,解直角三角形即可得到结论;

    2)建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

    详解】解:(1)过AADPMD,延长BCADE

    则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,

    BCMN16mDECNBM1.6m

    ∵∠AED90°,∠ACE45°,

    ∴△ACE是等腰直角三角形,

    CEAE

    AECEx

    BE16+x

    ∵∠ABE22°,

    tan22°=0.40

    x10.7m),

    AD10.7+1.612.3m),

    答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m

    2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m

    ∴本次测量结果的误差为12.612.30.3m

    减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

    总结本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

    2019年河南中招填空题第19

    19.(9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.

    (精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56cos34°=0.83tan34°≈0.671.73

    【答案】51m

    析】由三角函数求出AC82.1m,得出BCACAB61.1m,在RtBCD中,由三角函数得出CDBC105.7m,即可得出答案.

    详解】解:∵∠ACE90°,∠CAE34°,CE55m

    tanCAE

    AC82.1m

    AB21m

    BCACAB61.1m

    RtBCD中,tan60°=

    CDBC1.73×61.1105.7m

    DECDEC105.75551m

    答:炎帝塑像DE的高度约为51m

    总结本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解,难度适中.

    2018年河南中招填空题第20

    20.(9分)高低杠是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.

    如图所示,底座上AB两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°0.991cos82.4°0.132tan82.4°7.500sin80.3°0.983cos80.3°0.168tan80.3°5.850

    【答案】151cm

    析】利用锐角三角函数,在RtACERtDBF中,分别求出AEBF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.

    详解】解:在RtACE中,

    tanCAE=

    AE==21cm

    RtDBF中,

    tanDBF=

    BF===40cm

    EF=EA+AB+BF21+90+40=151cm

    CEEFCHDFDFEF

    四边形CEFH是矩形,

    CH=EF=151cm

    答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm

    总结】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.

     

    模拟演练

    字母型

    1. 黄河全长约5464千米,是中国第二长河.位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园,集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能,成为省会郑州的大氧吧”“后花园和网红打卡地.周末,小明一家来到黄河滩地公园游玩,小明想测量某段黄河的宽度.如图,小明利用自制测角仪,在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向,沿岸边向东走100步到达B处,并测得对岸C处在南偏东30°方向,请根据以上信息,估算此段黄河的宽度.(结果精确到0.1m.参考数据:一步

    【答案】303.8m

    【解析】过点C,垂足为D,设,分别利用解直角三角形得到ADBD的长度,根据,代入求解即可.

    【详解】解:过点C,垂足为D,如解图所示.

    由题意,易知

    中,∴

    中,∵

    解得

    答:此段黄河的宽度约为303.8m

    (不同算法,结果不一样.误差范围内即可)

    总结本题考查了解直角三角形的应用,准确理解题意,能够运用数形结合的思想是解题的关键.

    2. 无塔位于河南汝南城南,俗传冬至正午无塔影,故称无影塔.某数学活动小组到汝南测无影塔的高度.如图,他们在点D处测得塔顶A的仰角为,沿直线前行23米至点C,在点C处测得塔顶4的仰角为.已如点BCD在同一直线上,请依据相关数据求无影塔的商度(结果精确到.参考数据:).

    【答案】无影塔的高度约为25.8米.

    【解析】设无影塔的高度为x米,先将BDBC用含x的代数式表示,再利用三角函数建立方程,最后求解即可.

    【详解】解:设无影塔的高度为x米,

    中,

    中,

    解得:

    答:无影塔的高度约为25.8米.

    总结本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握三角函数的应用.

    背靠背型

    3如图,小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布,从点看到瀑布顶端的仰角为,看到瀑布底端的俯角为,若瀑布底有一水潭,点到水潭水平面的距离,求瀑布顶端到水潭水平面的距离的长.(结果保留整数.参考数据:

    解:如图,过,垂足为

    则四边形为矩形,

    由题意得:

    中,,即

    中,

    答:瀑布顶端到水潭水平面的距离的长约为

    4. 被誉为“天下第一塔”的开封铁塔,八角十三层,其设计精巧,单是塔砖就有数十种图案.铁塔位于铁塔公园的东半部,是园内重要的文物,也是主要的景点,始建于公元北宋皇祐元年,是年我国首批公布的国家重点保护文物之一,素有“天下第一塔”之称.某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动,具体过程如下:

    工具准备:皮尺,测角仪.

    方案设计:

    如图,开封铁塔垂直于地面,在地面上选取两处分别测得的度数(在同一条直线上)

    数据收集:

    通过实地测量:地面上两点的距离为

    问题解决:

    1求开封铁塔的高度精确到景点介绍开封铁塔的高度为米,则计算结果的误差为多少?并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么?(参考数据:

    2根据上述方案及数据,请你完成求解过程.

    【答案】(10.92 m,皮尺未拉直(答案不唯一);   

    2见解析

    【解析】(1)设,先证,则,再由锐角三角函数定义得, 然后由,解得,即

    即开封铁塔的高度约为;误差为;导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.

    2)同(1).

    【小问1详解】

    解:设

    中,

    中,

    解得:

    即开封铁塔的高度约为m

    即计算结果的误差为 m

    导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.

    【小问2详解】

    解:设

    中,

    中,

    解得:

    即开封铁塔的高度约为m

    即计算结果的误差为 m

    导致计算结果产生误差的原因可能是:皮尺未拉直;测角仪摆放不平衡等.

    总结本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题,熟练掌握仰角俯角的定义是解题的关键.

    活动阅读型

    5. 嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内,为北魏时期佛塔.该塔是我国现存最早的砖塔,反映了中外建筑文化交流融合创新的历程,在结构、造型等方面具有很大价值,对后世砖塔建筑有着巨大影响.某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间实地测量.

    课题

    测量嵩岳寺塔的高度

    测量工具

    测量角度的仪器,皮尺等

    测量方案

    在点C处放置高为1.3米的测角仪CD,此时测得塔顶端A的仰角为45°,再沿BC方向走22米到达点E处,此时测得塔顶端A的仰角为32°

    说明:点ECB三点在同一水平线上.

    请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:

    【答案】嵩岳寺塔的高度约为37.2m

    【解析】如图所示,延长FDGAB交于点G,先证AG=GD,然后设,则,再由,得到,由此求解即可.

    【详解】解:如图所示,延长FDGAB交于点G

    由题意得:AGD=90°

    ADG=45°

    GAD=45°

    AG=GD

    ,则

    解得

    ∴嵩岳寺塔的高度约为37.2m

    总结本题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键在于能够根据题意作出辅助线构造直角三角形.

    6. 手机测距可以测量物体高度、宽度等,这些测距软件是基于几何学原理设计的.测量时只需要输入身高,再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片,程序就会计算出物体的高度.某款测距提供的测高模式如下:

    都在同一平面内,手机位置为点,待测物体为,且均与地面垂直.从点处测得顶端的仰角为,底部的俯角为

    奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度.如图2,经过测量得到,仰角,俯角,求出广告牌的高度(参考数据:,结果精确到0.1).

    【答案】3.8m

    【解析】通过矩形ABCD的性质可得AB=ED,通过锐角三角函数的定义求得AECE的长度,进而求得CD的长度,即可求得最终结果.

    【详解】解:如答图,过点于点

    ∴四边形是矩形.

    ∵在中,

    ∵在中,

    答:广告牌高度约为

    总结本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数的应用,掌握三角函数是解题的关键.

    垂直构造型

    7宝轮寺塔中国四大回音建筑之一,位于三门峡市陕州风景区,始建于隋唐时期,因能发出的声音而俗称蛤蟆塔.当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度进行测量.因塔底部无法直接到达,制定了如下的测量方案:先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角,因广场面积有限,无法再向点的正后方移动,故操控无人机飞到点正上方10米的处测得塔尖的仰角为四点在同一个平面内,求塔高为多少米.(结果精确到0.1米,参考数据:

    答案26.3

    解析过点,垂足为构造直角三角形,然后里利用三角函数进行求解。

    详解解:过点,垂足为,则四边形是矩形,

    米,

    由题意可知

    中,由于

    米,则米,米,

    中,

    得,

    解得(米

    经检验是原方程的解,

    米,

    答:塔高约为26.3米.

    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

    8. 如图,活动课上,小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度,她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度i=1:1的斜坡按速度20/分步行15分钟到达C处,此时,测得点A的俯角是15°.图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上,求出建筑地所在山坡AE的高度AB.(精确到0.1米,参考数据:≈1.41).

    【答案】建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米.

    【解析】EF⊥AC于点F,RT△CDE中根据i=1:1知∠CED=∠DCE=45°,RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米,进而可得EF=150米,由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°,在RT△AEF中根据勾股定理可得AB的长度.

    【详解】解:作EFAC于点F,

    根据题意,CE=20×15=300米,

    i=1:1,

    tanCED=1,

    ∴∠CED=DCE=45°,

    ∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°,

    EF=CE=150米,

    ∵∠CEF=60°,AEB=30°,

    ∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°,

    AF=EF=150米,

    AE= (米),

    AB=×150≈105.8(米).

    答:建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米.

    【点睛】考查了仰角和俯角的应用,正确作出辅助线构造直角三角形,理解解直角三角形的条件是关键.

    不规则图形构造直角三角形

    9. 郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行60米至处,测得正前方河流右岸处的俯角为.线段的长为无人机距地面的铅直高度,点在同一条直线上.其中米.

    (1)求无人机的飞行高度;(结果保留根号)

    (2)求河流的宽度.(结果精确到1米,参考数据:

    【答案】(1   

    2316

    【解析】1)根据题意可得,从而可得∠ACMα,然后在RtACM中,利用锐角三角函数的定义求出AM的长,即可解答;

    2)过点BBNDM,垂足为N,根据题意可得ABMN60米,AMBN米,∠BDC30°,然后在RtBDN中,利用锐角三角函数定义求出DN的长,从而求出DM的长,进行计算即可解答.

    【小问1详解】

    由题意可知

    中,米,

    (米),

    答:无人机的飞行高度米;

    【小问2详解】

    过点B,垂足为N

    根据题意可知四边形ABNM为矩形,即有米,米,

    ∴在中,

    米,

    (米),

    (米),

    答:河流的宽度约为316米.

    总结本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

    10. 如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在OA的位置时俯角∠EOA=30°,在OB的位置时俯角∠FOB=60°,若OCEF,点A比点B7cm,求单摆的长度(结果精确到0.1,参考数据: 1.73).

    【答案】单摆的长度约为19.1cm.

    【解析】如图,过点AAPOC于点P,过点BBQOC于点Q,由题意得∠EOA=30°、FOB=60°,且OCEF,即可得∠AOP=60°、BOQ=30°,OA=OB=x,RtAOP中,OP= x,RtBOQ中,OQ= x,PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程解方程求得x的值即可.

    【详解】解:如图,过点AAPOC于点P,过点BBQOC于点Q,

    ∵∠EOA=30°、FOB=60°,且OCEF,

    ∴∠AOP=60°、BOQ=30°,

    OA=OB=x,

    则在RtAOP中,OP=OAcosAOP=x,

    RtBOQ中,OQ=OBcosBOQ=x,

    PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7,

    解得:x=7+7cm≈19.1cm,

    答:单摆的长度约为19.1cm.

    总结本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题意构建直角三角形,利用三角函数的定义表示出所需线段的长度是解题的关键.

     


     

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