专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

专题08三角函数的应用

选题介绍

本题型属于河南省中招考试的必考题型，每年解答题中均有体现。本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型，所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用，本题型首先会引入一个环境，然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。该题一般为解答题，分值9分，难度系数中等，得分率偏高。

利用三角函数解直角三角形的解题思路：

①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；

②构造直角三角形（题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造，直接解直角三角形，如果不再则需作垂线构造）；

③解直角三角形；

④设直角边为x；（直角三角形中有边长时直接求其它边，没有边长时需要设x）；

⑤利用三角函数构造关于x的方程。

真题展现

2022年河南中招填空题第19题

19. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。已知测角仪的高度为1.5m，测量点A、B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求浮云阁DC的高度。（结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.

【答案】32m

【解析】延长EF交DC与M点，在Rt△DMF、Rt△DME中，利用三角函数即可解决问题。

【详解】解：如图所示，延长EF交DC与M点，∠DFM=45°，∠DEM=45°

在Rt△DMF中，设DM=x，

∵△DMF为等腰直角三角形，

∴DM=MF=x

在Rt△DME中，

∵EF=15m,

∴EM=EF+FM=15+x

tan34°==≈0.67

∴x≈30.5m

∴DC=DM+MC=30.5+1.5=32m

答：浮云阁DC的高度为32m.

【总结】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。

声明：试2021年河南中招填空题第19题

19．（9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．

【答案】17.4 m

【解析】根据tan∠DAC＝＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解决问题．

【详解】解：根据题意可知：∠DAB＝45°，

∴BD＝AD，

在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，

∵tan∠DAC＝，

∴tan37.5°＝≈0.77，

解得AD≈17.4m，

答：佛像的高度约为17.4 m．

【总结】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．

2020年河南中招填空题第18题

18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，

减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．

【解析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；

（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．

【详解】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，

则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，

∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，

∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴CE＝AE，

设AE＝CE＝x，

∴BE＝16+x，

∵∠ABE＝22°，

∴tan22°＝＝＝0.40，

∴x≈10.7（m），

∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），

答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；

（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，

∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，

减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．

【总结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

2019年河南中招填空题第19题

19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

【答案】51m

【解析】由三角函数求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案．

【详解】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，

∴tan∠CAE＝，

∴AC＝＝≈82.1m，

∵AB＝21m，

∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，

在Rt△BCD中，tan60°＝＝，

∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，

∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，

答：炎帝塑像DE的高度约为51m．

【总结】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．

2018年河南中招填空题第20题

20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

【答案】151cm

【解析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．

【详解】解：在Rt△ACE中，

∵tan∠CAE=，

∴AE==≈≈21（cm）

在Rt△DBF中，

∵tan∠DBF=，

∴BF==≈=40（cm）

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）

∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF

∴四边形CEFH是矩形，

∴CH=EF=151cm

答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．

【总结】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．

模拟演练

字母型

1. 黄河全长约5464千米，是中国第二长河．位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园，集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能，成为省会郑州的“大氧吧”“后花园”和网红打卡地．周末，小明一家来到黄河滩地公园游玩，小明想测量某段黄河的宽度．如图，小明利用自制测角仪，在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向，沿岸边向东走100步到达B处，并测得对岸C处在南偏东30°方向，请根据以上信息，估算此段黄河的宽度．（结果精确到0.1m．参考数据：一步，）

【答案】303.8m

【解析】过点C作，垂足为D，设，分别利用解直角三角形得到AD、BD的长度，根据，代入求解即可．

【详解】解：过点C作，垂足为D，如解图所示．

由题意，易知，．

设．

在中，∴，

在中，∵，

∵，

解得

答：此段黄河的宽度约为303.8m．

（不同算法，结果不一样．误差范围内即可）

【总结】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，能够运用数形结合的思想是解题的关键．

2. 无塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔．某数学活动小组到汝南测无影塔的高度．如图，他们在点D处测得塔顶A的仰角为，沿直线前行23米至点C，在点C处测得塔顶4的仰角为．已如点B，C，D在同一直线上，请依据相关数据求无影塔的商度（结果精确到．参考数据：）．

【答案】无影塔的高度约为25.8米．

【解析】设无影塔的高度为x米，先将BD与BC用含x的代数式表示，再利用三角函数建立方程，最后求解即可．

【详解】解：设无影塔的高度为x米，

在中，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

解得：，

答：无影塔的高度约为25.8米．

【总结】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的应用．

背靠背型

3．如图，小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布，从点看到瀑布顶端的仰角为，看到瀑布底端的俯角为，若瀑布底有一水潭，点到水潭水平面的距离为，求瀑布顶端到水潭水平面的距离的长．（结果保留整数．参考数据：，

解：如图，过作，垂足为，

则四边形为矩形，

，

由题意得：，，，

在中，，即，

，

在中，，

，

，

答：瀑布顶端到水潭水平面的距离的长约为．

4. 被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案．铁塔位于铁塔公园的东半部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元年北宋皇祐元年，是年我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称．某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

工具准备：皮尺，测角仪．

方案设计：

如图，开封铁塔垂直于地面，在地面上选取，两处分别测得和的度数（在同一条直线上）

数据收集：

通过实地测量：地面上，两点的距离为，，．

问题解决：

（1）求开封铁塔的高度精确到景点介绍开封铁塔的高度为米，则计算结果的误差为多少？并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么？（参考数据：，，，）

（2）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

【答案】（1）0.92 m，皮尺未拉直（答案不唯一）；   

（2）见解析

【解析】（1）设，先证，则，再由锐角三角函数定义得， 然后由得，解得，即；

即开封铁塔的高度约为；误差为；导致计算结果产生误差的原因可能是：皮尺未拉直；测角仪摆放不平衡等．

（2）同（1）．

【小问1详解】

解：设，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

解得：，

即开封铁塔的高度约为m；

，

即计算结果的误差为 m；

导致计算结果产生误差的原因可能是：皮尺未拉直；测角仪摆放不平衡等．

【小问2详解】

解：设，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

解得：，

即开封铁塔的高度约为m；

，

即计算结果的误差为 m；

导致计算结果产生误差的原因可能是：皮尺未拉直；测角仪摆放不平衡等．

【总结】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义是解题的关键．

活动阅读型

5. 嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．

请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，）

【答案】嵩岳寺塔的高度约为37.2m

【解析】如图所示，延长FD到G与AB交于点G，先证AG=GD，然后设，则，再由，得到，由此求解即可．

【详解】解：如图所示，延长FD到G与AB交于点G，

由题意得：，∠AGD=90°，

∵∠ADG=45°，

∴∠GAD=45°，

∴AG=GD，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴，

∴嵩岳寺塔的高度约为37.2m．

【总结】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于能够根据题意作出辅助线构造直角三角形．

6. 手机测距可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距提供的测高模式如下：

奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到，仰角，俯角，求出广告牌的高度（参考数据：，结果精确到0.1）．

【答案】3.8m

【解析】通过矩形ABCD的性质可得AB=ED，通过锐角三角函数的定义求得AE和CE的长度，进而求得CD的长度，即可求得最终结果．

【详解】解：如答图，过点作于点．

则．

，

．

∴四边形是矩形．

，

．

∵在中，，

．

∵在中，，

．

．

答：广告牌高度约为．

【总结】本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数的应用，掌握三角函数是解题的关键．

垂直构造型

7．宝轮寺塔中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度进行测量．因塔底部无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角为，因广场面积有限，无法再向点的正后方移动，故操控无人机飞到点正上方10米的处测得塔尖的仰角为，，，，四点在同一个平面内，求塔高为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，，

【答案】26.3米

【解析】过点作，垂足为，构造直角三角形，然后里利用三角函数进行求解。

【详解】解：过点作，垂足为，则四边形是矩形，

米，

由题意可知，，

再中，由于，

，

设米，则米，米，

在中，

由得，，

解得（米，

经检验是原方程的解，

即米，

答：塔高约为26.3米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8. 如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．

【答案】建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米．

【解析】作EF⊥AC于点F，RT△CDE中根据i=1：1知∠CED=∠DCE=45°，RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米，进而可得EF=150米，由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°，在RT△AEF中根据勾股定理可得AB的长度．

【详解】解：作EF⊥AC于点F，

根据题意，CE=20×15=300米，

∵i=1：1，

∴tan∠CED=1，

∴∠CED=∠DCE=45°，

∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，

∴EF=CE=150米，

∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，

∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，

∴AF=EF=150米，

∴AE= （米），

∴AB=×150≈105.8（米）．

答：建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米．

【点睛】考查了仰角和俯角的应用，正确作出辅助线构造直角三角形，理解解直角三角形的条件是关键．

不规则图形构造直角三角形

9. 郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．

（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：，）

【答案】（1）米   

（2）316米

【解析】（1）根据题意可得，从而可得∠ACM＝α，然后在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，即可解答；

（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，根据题意可得AB＝MN＝60米，AM＝BN＝米，∠BDC＝30°，然后在Rt△BDN中，利用锐角三角函数定义求出DN的长，从而求出DM的长，进行计算即可解答．

【小问1详解】

由题意可知，

∴，，

在中，，米，

∴（米），

答：无人机的飞行高度为米；

【小问2详解】

过点B作，垂足为N，

根据题意可知四边形ABNM为矩形，即有米，米，

∵

∴在中，，

∴米，

∴（米），

∴（米），

答：河流的宽度约为316米．

【总结】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10. 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm，求单摆的长度（结果精确到0.1，参考数据：≈ 1.73）．

【答案】单摆的长度约为19.1cm．

【解析】如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，由题意得∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，即可得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，在Rt△AOP中，OP= x，在Rt△BOQ中，OQ= x，由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程，解方程求得x的值即可.

【详解】解：如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，

∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，

∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，

设OA=OB=x，

则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=x，

在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=x，

由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7，

解得：x=7+7cm≈19.1cm，

答：单摆的长度约为19.1cm．

【总结】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意构建直角三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度是解题的关键．