专题07 中考7题 一元二次方程相关应用题型—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

专题07一元二次方程相关应用题型

选题介绍

本题型在河南省近五年的中招试卷中考了5次，本专题整理的一元二次方程相关题型主要是试卷中考查的选择题型或者填空题型，所考知识点主要是一元二次方程根的判别式，近五年内均是此知识点。另外也会涉及到一元二次方程的应用题型，主要考查如何正确列方程，涉及的方向主要包括平均变化率或者面积问题。该题一般为选择题型，分值3分，难度系数中等，得分率偏高。其中根的判别式需要重点把握，基本属于必考知识点。

根的判别式的几种根的情况判断要熟练应用：

①一元二次方程有两个不相等的实数根，△＞0；

②一元二次方程有两个相等的实数根，△=0；

③一元二次方程无实数根，△＜0；

④一元二次方程有实数根（或者有两个实数根），△≥0。

***本题如果是填空题，涉及到求参量取值范围时需要注意一元二次方程成立的条件a≠0.

真题展现

2022年河南中招填空题第6题

6．（3分）一元二次方程下x2+x一1=0的根的情况是（     ）

1. 有两个不相等的实数根
2.   没有实数根
3.   有两个相等的实数根
4. 只有一个实数根。

【答案】A

【解析】利用根的判别式求△的值，利用△的值与0进行比较，是解决本题的关键。

【详解】解：根据方程其中a=1，b=1，c=—1

△=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5＞0

∴一元二次方程有两个不相等的实数根

故选A

【总结】熟练掌握根的判别式的应用，利用根的判别式求△的值，用△的值与0进行比较进行判定根的情况是解决本题的关键。

声明：试2021年河南中招填空题第7题

7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

【答案】D

【解析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．

【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，

∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，

解得：m＞1，

∴m只能为，

故选：D．

【总结】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

2020年河南中招填空题第7题

7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．无实数根 D．只有一个实数根

【答案】A

【解析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．

【详解】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，

∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，

故选：A．

【总结】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．

2019年河南中招填空题第6题

6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【答案】A

【解析】先化成一般式后，在求根的判别式．

【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，

∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，

∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，

∴方程由两个不相等的实数根．

故选：A．

【总结】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．

2018年河南中招填空题第7题

7．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）

  A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 

【答案】B

【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．

【详解】解：A、x2+6x+9=0

△=62﹣4×9=36﹣36=0，

方程有两个相等实数根；

B、x2=x

x2﹣x=0

△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0

两个不相等实数根；

C、x2+3=2x

x2﹣2x+3=0

△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，

方程无实根；

D、（x﹣1）2+1=0

（x﹣1）2=﹣1，

则方程无实根；

故选：B．

【总结】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

模拟演练

1．若双曲线在第二、四象限，那么关于的方程的根的情况为　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根  D．无实根

【解析】A

【解析】由反比例函数的性质判定a的大小，然后求解△的值，利用a的大小，判定△的值的大小是解题的关键。

【详解】双曲线在第二、四象限，

，

关于的方程，

△，

关于的方程有两个不相等的实数根．

故选：．

【总结】本题主要注意反比例函数的性质，一元二次根的判别式的应用。

2．关于的一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】A

【解析】先确定a、b、c的值，在求根的判别式．

【详解】△，

方程总有两个不相等的实数根．

故选：．

【总结】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

3．若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】先确定a、b、c的值，在求根的判别式．根据一元二次方程根的情况求解参数取值范围。

【详解】方无实数根，

△，

解得：．

故选：．

【总结】已知根的情况，判定参数取值范围，本题型中一定要注意限定条件a≠0的情况。

4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________．

【答案】10

【解析】由一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=36-4(m-1)=0,求出m的值即可

【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根

∴Δ=36-4(m-1)=0, 解得m=10

故答案为：10

【总结】本题考查了利用一元二次方程的判别式来求系数，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等得实数根，则Δ=0．根与判别式的关系是：当一元二次方程有两个不相等得实数根时，Δ＞0；当一元二次方程有两个相等得实数根时，Δ=0；当一元二次方程没有实数根时，Δ＜0；反之也成立．

5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且 D. 且

【答案】D

【解析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．

【详解】解：根据题意得：a≠0且，即

，

解得：且，

故选D．

【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

6. 下列一元二次方程中，无实数根的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac然后根据计算的结果分别判断根的情况．

【详解】解：A，Δ＝b2﹣4ac=-8＜0，方程没有实数根，故符合题意．

B，Δ＝b2﹣4ac=1＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．

C，Δ＝b2﹣4ac=0方程有两个相等的实数根，故不符合题意．

D， Δ＝b2﹣4ac=16＞0方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．

故选：A．

【总结】本题考查了一元二次方程 ( a≠0， a， b，c为常数)的根的判别式Δ＝b2﹣4ac解题的关键是掌握当△＞0方程有两个不相等的实数根;当△=0方程有两个相等的实数根;当△＜0方程没有实数根．

7. 已知关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的值．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，

∴Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，

解得k≥-2．

故选：B．

【总结】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

8. 定义运算：例如：则方程的根的情况为（   ）

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C. 无实数根 D. 无法确定

【答案】C

【解析】已知等式利用题中的新定义化简，再利用根与系数的关系确定出方程解的情况即可．

【详解】解：根据题中的新定义化简得：，

整理得，

，

方程无实数根．

故选：C．

【总结】此题考查了根的判别式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

9. 某市2020年底森林覆盖率为45%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2022年底森林覆盖率将达到48%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，那么，符合题意的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】利用2022年底森林覆盖率＝2020年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】依题意得：，

即．

故选：B．

【总结】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

10. 某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同，设增加了x行，根据题意，所列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】由增加了x行可得出后来共种了（8+x）行、（10+x）列，根据后来种植的树共（8×10+40）棵，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：∵增加了x行，

∴后来共种了（8+x）行，（10+x）列．

依题意得：（8+x）（10+x）＝8×10+40．

故选：D．

【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11. 下列关于的一元二次方程一定有实数解的是(      )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，即可得到答案.

【详解】解：A、a的值未知，不能保证这是一元二次方程，且，不能确定△正负，故不符合题意；

B、，没有实数根，故不符合题意；

C、，不能确定△正负，故不符合题意；

D、，一定有实数根，符合题意；

故选择：D.

【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；

12. 一元二次方程的根的情况是（    ）

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根

C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

【答案】D

【解析】先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可．

【详解】解：∵，

∴，即，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选D．

【总结】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知判别式符号与一元二次方程根的关系式解题的关键．

13. 一元二次方程的根的情况是　　

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

【答案】A

【解析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．

【详解】∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．

故选A．

【总结】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

14. 关于的一元二次方程的根的情况是（    ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 有实数根 D. 没有实数根

【答案】C

【解析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．

【详解】解：∵a=1，b=m，c=-m-1，

∴，

∴方程有两个实数根．

故选：C

【总结】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．

15. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ）

A. 当时，此方程有两个相等的实数根

B. 当时，此方程有两个不相等的实数根

C. 当时，此方程没有实数根

D. 此方程根的情况与m的值无关

【答案】B

【解析】先求得一元二次方程根的判别式，根据的值进行判断即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程，

即，

∴，，

当，即时，此方程没有实数根，

当，即时，此方程有两个相等的实数根，

当，即，此方程有两个相等的实数根，

故选B

【总结】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．