专题05 尺规作图与平面几何结合题型—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

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专题05尺规作图与平面几何结合题型
选题介绍
本题型在河南省近五年的中招试卷中考了4次，分别为2021年第23题，2020年第10题，2019年第9题，2018年第9题。该题一般为选择题型，分值3分，但2021年中招试题中，尺规作图融入到几何探究题型中，增加了试题的难度和阅读量。本题属于几何题型，侧重于对题意的阅读理解，难度系数中等，得分率偏高。本题型一般综合考查了几何图形性质和尺规作图的两个知识点，一是角平分线的尺规作图，而是线段垂直平分线的尺规作图。
根据已有的图像与文字提供的信息，按照以下思维过程解体：
①根据作图痕迹理解所考知识点，明确作的是线段垂直平分线还是角平分线；
②熟练掌握应用两种尺规作图的性质定理；
③结合几何图形求解相应的量。
真题展现
2021年河南中招填空题第23题
23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　⑤　（填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．
【解析】（1）由作图得，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，可知Rt△PGO≌Rt△PHO的依据HL；
（2）由作图得，OC＝OC，OE＝OF，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△DOE≌△COF、△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，从而得到∠POE＝∠POF，所以OP是∠AOB的平分线；
（3）连接OP，由已知条件可证明∠OPC＝∠OCP＝75°，从而得OP＝OC，再过点P作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC的长．
【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OE﹣OC＝OF﹣OD，
∴CE＝DF，
∵CG＝CE，DH＝DF，
∴CG＝DH，
∴OC+CG＝OD+DH，
∴OG＝OH，
∵OP＝OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），
故答案为：⑤．
（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线．
（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，
由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，
∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，
∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，
∴MP＝ME，
设MP＝ME＝m，则OM＝MP•tan60°＝m，
由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，
∴MP＝ME＝1，
∴OP＝2MP＝2，
∴OC＝OP＝2；
如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，
同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，
∴OE＝OP＝+1，
∵MC＝MP＝OP＝OE＝，
∴OM＝MP•tan60°＝×＝，
∴OC＝OM+MC＝+＝2+．
综上所述，OC的长为2或2+．




【总结】此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，解第（3）题需作辅助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论，求出所有符合条件的值．
声明：试2020年河南中招填空题第10题
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6 B．9 C．6 D．3
【答案】D
【解析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC＝，
∴AD＝CD＝AB＝3，
∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，
故选：D．

【总结】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2019年河南中招填空题第9题
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故选：A．

【总结】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
2018年河南中招填空题第9题
9．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【答案】A
【解析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．

【总结】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
模拟演练
1．如图，在中，，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线交于点，交于点，点恰为的中点，连接，则的长为　　

A． B．6 C．7 D．
【答案】A
【解析】如图，连接，

根据作图过程可知：是线段的垂直平分线，
，
点为的中点，
，，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【总结】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及平行四边形的性质的运用，解题时注意，利用二者性质的结合然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为　　

A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】由作图过程可知：
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
在中，根据勾股定理，得
．
答：的长为2．故选：．
【总结】本题主要考查了线段垂直平分线的作法、勾股定理的应用以及直角三角形的相关性质的运用，解题时注意，利用几者性质的结合然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线，若，，则的长是　　

A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】连接，与相交于点，
由作图可知，是的平分线，
，
，，．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
．
故选：．

【总结】本题主要考查了角平分线的作法以及平行四边形的性质的运用，解题时注意，利用二者性质的结合然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
4. 如图，在已知的△ ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（　　）

A. CD+DB=AB B. CD+AD=AB C. CD+AC=AB D. AD+AC=AB
【答案】B
【解析】
作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.
【详解】由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.
【点睛】了解中垂线的作图规则是解题的关键.
5. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）

A. 3 B. C. D. 5
【答案】B
【解析】由题意得，CG为的角平分线，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，继而得到CG垂直平分AA1，则A1为点A关于CG的对称点，连接A1D，交CG于点E，此时最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．
【详解】
由题意得，CG为的角平分线，
在CB上截取CA1=CA，
，
是等腰直角三角形，
，即CG垂直平分AA1，
A1为点A关于CG的对称点，
连接A1D，交CG于点E，
，
此时最小，即A1D值，
，为边的中点，
，
，
即，
故选：B．
【总结】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
6. 如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以为圆心，以适当长为半径作弧，交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点；则的长度为（ ）


A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由作图知，BP平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABP=∠PBC=60°，根据平行四边形的性质得到，AD=BC=8，求得∠APB=∠PBC=60°，推出△ABP是等边三角形，得到AB=AP=BP=4，根据相似三角形的性质求得，过A作AG⊥BC交CB的延长线于G，根据勾股定理得到AC的长，于是得到结论．
【详解】由作图知，BP平分∠ABC，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABP=∠PBC=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC=8，
∴∠APB=∠PBC=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB=AP=BP=4，
∵，
∴△AOP∽△COB，
∴，
过A作AG⊥BC交CB的延长线于G，


∴∠AGB=90°，∠ABG=60°，
∴BG=AB=2，AG=AB=，
∴AC=，
∴OC=AC=，
故选：A．
【总结】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
7. 如图，在中，,是的中点，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，两弧相交于点，射线分别与，交于点，，若，，则的长为（ ）

A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
由基本作图可得HE是MN的垂直平分线，可得HE∥CD，可得△BGE∽△BDC，由是的中点可得，根据相似三角形对应边成比例即可得解.
【详解】解：由基本作图可得HE是MN的垂直平分线，
∴BD⊥HE，
∵，
∴HE∥CD，
∴△BGE∽△BDC，
∴，
∵是的中点
∴
∴BG=3，BD=BG+DG=6，
在Rt△BDC中，由勾股定理得，
，
故答案选：C.
【总结】本题考查相似三角形的性质和判定，由基本作图得HE是MN的垂直平分线并证出△BGE∽△BDC是解题的关键.
8. 如图所示，中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若，则AO的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作法得BP平分，根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，等量代换可得，继而可得，由勾股定理可得AC的长度，由相似三角形的判定及其性质可得，代入数据求解即可．
【详解】由作法得BP平分，则．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△AOQ∼△COB，
∴，即，
解得．
故选：C．
【总结】本题考查尺规作图-角平分线及其性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确理解由作法得BP平分，熟练运用所学知识．
9. 如图所示，矩形ABCD中AB＝3，BC＝4，连接AC，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA、CD于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线CG交AD于点H，则DH的长度为（　　）

A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】过H点作HM⊥AC于M，得CH平分∠ACD，故HM＝HD，在Rt△ABC中由勾股定理得AC=5，由HL得Rt△CHD≌Rt△CHM，设HM＝DH＝t，则AH＝4﹣t，在Rt△AHM中，由勾股定理得t2+22＝（4﹣t）2，解得t值即可求解.
【详解】解：如图，过H点作HM⊥AC于M，

由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
∵AB＝3，BC＝4，
在Rt△ABC中，AC5，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
故选：D．
【总结】此题考查了作图-复杂作图和角平分线的性质推知以及勾股定理，根据作图步骤CH是的平分线是解答此题的关键.
10. 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由作图可知AE垂直平分CD，则∠AED=90°，DE=CE，在Rt△AED中，可得∠DAE=30°，由勾股定理得AE=，由菱形的性质可求得∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理即可求出BE的长．
【详解】解：由作图可知AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，DE=CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=AB=4，DE=CD=2，
在Rt△AED中，DE=AD，
∴∠DAE=30°，AE==，
∴∠D=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°，
在Rt△ABE中，
BE===．
故选B．
【总结】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质证得∠BAE=90°是解决此题的关键．