数学选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课后练习题

【名师】6.3 利用导数解决实际问题-1随堂练习

一．填空题

1．已知定义在R上的函数的图象在点处的切线方程为，则             .

2．把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．

3．一个帐篷下部的形状是高为2m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点D到底面中心Ol的距离为________时，帐篷的体积最大？

4．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点．的连线恰好经过拐角内侧顶点（点．．在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为________（用表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．

5．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．

6．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为___________.

7．函数f（x）=lnx的图象在点（e，f（e））处的切线方程是　　．

8．设 ，则 展开式中的常数项为_________（用数字作答）

9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离x(千米)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离x(千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

11．现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍。 要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为_______

12．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________.

13．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产_________（千台）．

14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．

15．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比值为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

2．【答案】15　15

【解析】设长为x cm，则宽为(30－x) cm，

所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.

由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.

3．【答案】

【解析】设出顶点到底面中心的距离，再求出底面边长和底面面积，求出体积的表示，利用导数求出高为何值时体积最大，得到答案.

【详解】

设为米，（）

则由题意可得正六棱锥底面边长为：m，

于是底面正六边形的面积为，

所以帐篷的体积为

，

所以，

可得当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减，

所以当时，取得最大值.

【点睛】

本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，建立函数关系式，利用求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

4．【答案】     

【解析】分别计算出．，相加可得的长；设，利用导数求得的最小值，即可得解.

详解：如下图所示，过点分别作，，则，

在中，，则，同理可得，

所以，.

令，则，

令，得，得，

由，解得，

当时，；当时，.

则.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

5．【答案】40

【解析】分析：令v′=60x﹣=0，解得x=40，明确函数的单调性，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．

详解：∵V（x）=x2（）（0＜x＜60），

∴v′=60x﹣，0＜x＜60，

令v′=60x﹣=0，解得x=0（舍去），或x=40，

并求得V（40）=16000.

当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；

当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，

v（40）=16000是最大值．

∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40.

故答案为：40.

点睛：求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 求出函数的极值 （5）把极值与端点值进行比较得到函数的最值.

6．【答案】

【解析】设水箱底长为 ，则高为，由，得．设容器的容积为 ，则有．求导数，有． 令 ，解得 （舍去）．当 时， ；当 时， ，因此，是函数的极大值点，也是最大值点，此时.

7．【答案】x﹣ey=0

【解析】因为曲线f（x）=lnx在点（e，f（e））处的切线的斜率为 f′（e），又f（e）=1，所以函数f（x）=lnx的图象在点（e，1）处切线方程可以用点斜式求得．

解：∵f′（x）=，∴曲线f（x）=lnx在点（e，f（e））处的切线的斜率为f′（e）=，

又f（e）=1，所以y﹣1=（x﹣e），整理得x﹣ey=0．

故答案为：x﹣ey=0

本题考查的是利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．

8．【答案】210

【解析】=，又展开式的通项，由，所以展开式中的常数项为.

9．【答案】3

【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，

∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．

10．【答案】5

【解析】

11．【答案】

【解析】设单位面积铁的造价为，总的造价为 ，那么 ，即 ，又根据 ，代入后得到 ， ，令 ，解得： ，当 时， 函数单调递减，当 时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值， ，那么 ，故填： .

12．【答案】

【解析】可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出x的最大值．

13．【答案】6

【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．

详解：由题意，利润y=（x＞0）．

y′=36x﹣6x2，

由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），

当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0.

∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．

则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．

故答案为：6.

点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程．不等式．函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.

14．【答案】6 cm　3 cm　4 cm

【解析】设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm，

S＝4x2＋＋＝4x2＋.

S′＝8x－＝0，解得x＝3 (cm)．

∴长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.

15．【答案】

【解析】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到．

【详解】

设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，

由V=h=？kd=kd3，

可得d=，h=kd=，

设造价为y，则y=2π？（）2？a+πdh？b，

则y′=+

令y′=0，解得k=，可得此时y取得最小值．

故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求最值，同时考查圆柱的表面积和体积的运用，属于中档题．