高中人教B版 (2019)6.3 利用导数解决实际问题教学ppt课件

这是一份高中人教B版 (2019)6.3 利用导数解决实际问题教学ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了目录索引等内容，欢迎下载使用。

1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用;2.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.最优化问题的定义生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.2.利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.(2)求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.(4)还原到原实际问题中作答.
名师点睛用导数解决实际问题的基本过程解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
过关自诊1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件
解析 ∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得02.[人教A版教材习题]将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?
解 设弯成的两个小正方形的边长分别为x,y,
探究点一　利润最大、效率最高问题
【例1】 [北师大版教材例题]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式.(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?
解 (1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).
(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.当x≥15时,w'(x)≤0,所以w(x)≤w(15).比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340,可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1 340,即该企业的产量为15 t时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
规律方法　利润最大问题的求解方法利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.
变式训练1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
所以f'(r)=0.8π(r2-2r).令f'(r)=0,解得r=2.当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.因此,当半径r>2时,f'(r)>0,f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r<2
时,f'(r)<0,f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.(1)半径为6 cm时,利润最大.
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
探究点二　费用最低(用料最省)问题
规律方法　费用最低问题的求解策略(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
变式训练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?
解 设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,
于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为 小时,所以行
令q'=0,解得v=20.当v<20时,q'<0;当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.
探究点三　面积、体积最大问题
【例3】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.
解 设容器底面的宽为x m,
由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,
∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m时,容器的容积最大,最大值为1.8 m3.
规律方法　面积、体积最大问题的求解策略求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.
变式训练3[2023广东高二期末]如图,在半径为3 m的 圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两条半径上.现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x m,圆柱的体积为V m3.(1)写出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域.(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?最大体积是多少?
1.(多选题)[2023河北邯郸武安第三中学高二校考阶段练习]若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是(　 　)
解析 由题意知:方盒的底面为边长为4-2x的正方形,高为x,其中02.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为(　　)A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm
解析 设水箱的底面边长为x cm,容积为256 cm3,
令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.
3.已知某厂生产某种商品x(单位:百件)的总成本函数为C(x)= x3-6x2+29x+15(单位:万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(单位:万元),则生产这种商品所获利润的最大值为　　　　　万元. 
所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当19时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.
4.用长为24 cm的钢条围成一个长方体框架,要求长方体的长与宽之比为3∶1,则长方体的宽为　　　　时,其体积最大. 
解析 设长方体的宽为x(x>0),高为h,则该长方体的长为3x,所以有4x+4·3x+4h=24,则h=6-4x>0,即00,V(x)单调递增;当x∈(1, )时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以V(x)max=V(1)=6,即长方体的宽为1时,其体积最大.
5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨)与产品的价格P(单位:元/吨)之间的关系为P=24 200- x2,且生产x吨的成本为R=50 000 +200x(元).问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)