数学人教B版 (2019)5.1.1 数列的概念随堂练习题

【精挑】5.1.1 数列的概念课堂练习

一．填空题

1．将边长分别为的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为，则_________，前个阴影部分图形的面积的平均值为__________．

2．设数列中，对任意都有，，，则____.

3．数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N），则a7= ______ ．

4．数列满足：，，①_________；②若有一个形如（，，）的通项公式，则此通项公式可以为_________.（写出一个即可）

5．已知数列中，，，若是5的倍数，且，求所有满足条件的的表达式：__________.

6．数列中，（），该数列从第_____项开始每项均为负值.

7．已知数列满足则的最小值为__________.

8．若数列的通项公式为，数列满足 ，则数列的前10项和为_______．

9．欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________

10．已知数列满足，若，且是递增数列．是递减数列，则_______.

11．数列的最大项所在的项数为________.

12．数列满足，，则______.

13．已知数列满足，，则通项公式_______.

14．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N）定义使a1？a2？？ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．

15．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】根据图形得到，再计算前项和，计算得到答案.

【详解】

根据图形知：

前项和为： 故前个阴影部分图形的面积的平均值为.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，前项平均值，意在考查学生的应用能力.

2．【答案】

【解析】分别由和构造，可得到；由和构造，可得到，从而得到.

【详解】

由得：

由得：    ，即

由得：；由得：

，即

综上所述：

故答案为：

【点睛】

本题考查根据数列的递推关系式求解数列中的项，关键是能够通过赋值的方式，将作为中间变量求得所处的范围，进而锁定结果.

3．【答案】1

【解析】根据递推公式,得,把,代入可依次求出前7项即可

【详解】

由,得,

所以,,,,

故答案为：1

【点睛】

本题考查由数列的递推公式求数列的项,数列的递推公式是给出数列的一种方法

4．【答案】2     

【解析】首先利用数列的递推关系式求出数列各项，进一步利用数列的周期的应用求出数列的通项公式．

【详解】

解：数列满足：，．

当时，．

当时，

当时．

当时．

所以是以为最小正周期的数列

①，

②，

③，

①减②，得④

②减③，得⑤

④除⑤，得

代入④得，再代入③得

故答案为：2；．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础型．

5．【答案】

【解析】首先根据数列的递推关系式，求出数列的周期，进一步得出要使，所需满足的关系式．

【详解】

由已知，得，

所以当时，，

若是5的倍数，且，则令，所以，

当时，

此时，

故答案为.

【点睛】

本题考查数列的递推式，关键在于由数列的递推式得出数列的周期，再得出数列的项的特征，属于中档题.

6．【答案】34

【解析】要判断从第几项开始为负数，只需令，解不等式并结合求出n的值即可.

详解：令，解不等式得：，由于，故.

故答案为：34.

【点睛】

本题考查数列的概念和简单表示法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

7．【答案】

【解析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．

【详解】

解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）++（a2﹣a1）+a1＝2[1+2++（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33

且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33.

从而

设f（n），令f′（n），

则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，

因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．

又因为，，

所以的最小值为

故答案为

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

8．【答案】

【解析】根据的通项，得到的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出的前10项和.

【详解】

因为，

所以

所以的前10项和.

.

故答案为：

【点睛】

本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.

9．【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，，然后可得，

，

然后，利用等差数列求和公式求解即可

【详解】

，

.

故答案为：

10．【答案】

【解析】根据以及是递增数列．是递减数列,逐个代入分析,找到规律,再求和的通项公式即可.

【详解】

由且得.

又是递增数列．是递减数列,故 ,故

同理,,,,

,.

累加可得

又,故

则

故答案为：

【点睛】

本题主要根据数列的递推关系求得通项公式,主要是分情况讨论求解通项公式的问题,同时也考查了累加法求通项的方法,属于综合题型.

11．【答案】11.

【解析】，时，，得到关于的不等式组，解得的范围，结合，得到的值，再与时进行比较，得到答案.

【详解】

令，

当时，设为最大项，则

即

解得.

而，所以

又时，有，

所以数列的最大项所在的项数为.

故答案为：

【点睛】

本题考查求数列中的最大项，属于简单题.

12．【答案】

【解析】由首项，利用递推公式求出第二．三．四．五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论.

【详解】

由，，

得，，，，

∴是周期为4的数列，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差．等比数列，或者是周期数列.

13．【答案】

【解析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可

【详解】

由题,因为,所以,

所以,

当时,,所以,

所以当时,,则,即,

当时,,符合,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查构造法求通项公式,注意检验时是否符合条件

14．【答案】2026

【解析】根据题意，先求出a1？a2？？ak可得a1？a2？a3？？ak=log2（k+2），即转化为k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，由k∈[1，2019]可得1≤2n-2≤2019，可求解对应值，再分项求解即可

【详解】

∵an=logn+1（n+2）=（n∈N），

∴a1？a2？a3？？ak=？？？？=log2（k+2），

又a1？a2？a3？？ak为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，

又k∈[1，2019]，∴1≤2n-2≤2019，∴取2≤n≤10，

∴区间[1，2019]内所有的企盼数的和为：

M=（22-2）+（23-2）+（24-2）++（210-2）=（22+23++210）-2×9=-18=2026.

故答案为：2026

【点睛】

本题考查新定义数列的理解判断，数列的分组求和，属于中档题

15．【答案】-2

【解析】根据递推公式推导数列的前后项的关系,进而可判断

【详解】

由题意即可，

,

若,则且,即该数列单增，且,

此时若存在常数,使得恒成立，则必有.

若,则,该数列为常数列,即.

当时，显然有

综上所述,.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据递推公式分析数列前后项的关系,进而求得数列的通项范围,需要思考的大小从而分情况讨论,属于难题.