人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念导学案，共10页。学案主要包含了数列，数列的分类，数列的通项公式，数列与函数等内容，欢迎下载使用。

1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类.
3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.
4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
重点：数列的有关概念与数列的表示方法
难点：数列的函数特征
一、数列
1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.
数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,
例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.
(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
二、数列的分类
三、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cs nπ等.
四、数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，
其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，
记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，
如果f(n)(n∈N*)有意义，
那么 构成了一个数列{f(n)}．
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
1. 下列叙述正确的是( )
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.同一个数在数列中不可能重复出现
2.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项.
情景导学
古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等。
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现。
二、问题探究
（1）.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。从数学上来说，如果木棍初始长度为1，则每天之后木棍的长度分别为
12，14，18，…①
（2）.2009年至2015年，我国每一年专利申请受理数（精确到万）分别为
98，122，163，205，236，238，280. ②
（3）.有些购物网站推出了分期付款服务，如图所示标价为3000元的电脑可以享受
分期服务,不同的付款方式，所对应的付款总金额分别为
3000， 3045， 3090， 3180， 3360. ③
三、典例解析
例1. 根据下列数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项；
（1） an=n2-12n-1 ; （2） bn=sinnπ2.
例2. 写出以下各数列{an}的一个通项公式：
(1)2,4,6,8,…;
(2)1,3,5,7,9,…;
(3)0,2,0,2,0,…;
(4)-23,415,-635,863, -1099,….
根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
2.常见数列的通项公式
(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n(n+1)2.
(8)数列1,12,13,14,…的一个通项公式是an=1n.
跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,13,15,17;
(2)212,414,618,8116;
(3)3,5,9,17;
(4)23,415,635,863;
(5)7,77,777,7 777.
（1）已知函数fx=-12x+52，你能根据这个函数构造出一个数列吗？
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？
四、数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，
其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，
记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，
如果f(n)(n∈N*)有意义，
那么 构成了一个数列{f(n)}．
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
例3.已知函数fx=x-1x，设数列{an}的通项公式为an=fn，其中n∈N*
（1）求证：0≤an<1 ;
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
数列增减性的判定方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
跟踪训练2.已知函数f(x)= x- 1x，数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.
1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( )
A.380 B.39 C.32 D.23
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( )
A.19 B.20 C.21 D.22
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( )
A.(-1)n+12B.csnπ2C.csn+12πD.csn+22π
4.已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 .
5.分别写出下列数列的一个通项公式:
(1)-114,329,-5316,7425,-9536,…;
(2)4,-52,2,-74,…;
(3)1,1,57,715,931,…;
(4)3,3,15,21,33,….
6.在数列{an}中,已知an=n2+n-13(n∈N*).
(1)写出a10,an+1.
(2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?
7.已知数列{an}的通项公式an=kn2n+3(k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
参考答案：
知识梳理
1. 解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B
2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
答案:99 15
学习过程
典例解析
例1. 解:（1）由通项公式可知
a2=22-12×2-1 =1.
a5=52-12×5-1 =249=83.
（2）由通项公式可知
b2=sin2π2 =sinπ=0.
b5=sin5π2 =sin2π+π2=sinπ2=1.
例2. 分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解:(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n.
(2)因为这个数列每一项都比（1）中数列的每一项小1，
因此数列的一个通项公式为an=2n-1
（3）因为数列的第1,3,5项都是0，而第2,4项都是2.
因此它的一个通项公式为an=0,n为奇数,2,n为偶数.
（4）忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2,4,6,8,10,…其中每一个数都是序号的2倍；而且，数列每一项的分母都是分子平方减去1.又因为负号、正号是交替出现的。因此它的一个通项公式为an=(-1)n2n4n2-1
跟踪训练1.解:(1)an=12n-1;
(2)an=2n+12n;
(3)an=2n+1;
(4)an=2n(2n)2-1;
(5)an=79(10n-1).
探究：分析:令x=1,2,3,4，…，n…，
可得到数列
2，83，1，…，-12n+52，….，即这个数列的通项公式是an=fn=-12n+52
例3.解：（1）由题意可知an=fn=n-1n=1-1n,
又因为n∈N* ，所以0<1n≤1，
因此0≤1-1n<1 ;即0≤an<1.
（2）因为an+1-an= （1-1n+1 ）-（1-1n）=1n(n+1)
又因为n+1 > n≥1 ，所以1n(n+1)>0，
从而an+1-an>0，即an+1>an
因此{an=1-1n}是递增数列.
跟踪训练2.分析：先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.
解:(1)∵f(x)=x-1x,f(an)=-2n,
∴an-1an=-2n,即an2+2nan-1=0,
解得an=-n±n2+1,
∵an>0,∴an=n2+1-n.
(2)(方法一:作差法)
∵an+1-an=(n+1)2+1-(n+1)-(n2+1-n)
=(n+1)2+1-n2+1-1
=[(n+1)2+1-n2+1][(n+1)2+1+n2+1](n+1)2+1+n2+1-1=(n+1)+n(n+1)2+1+n2+1-1,
又(n+1)2+1>n+1,n2+1>n,
∴(n+1)+n(n+1)2+1+n2+1<1.
∴an+1-an<0,即an+1∴数列{an}是递减数列.
(方法二:作商法)
∵an>0,∴an+1an=(n+1)2+1-(n+1)n2+1-n=n2+1+n(n+1)2+1+(n+1)<1.
∴an+1∴数列{an}是递减数列.
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1.解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).
∵380=19×20=19×(19+1),
∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.
答案:A
2.解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21,故选C.
答案:C
3.解析:当n=4时,(-1)n+12=(-1)4+12=1≠-1,csnπ2=cs4π2=cs 2π=1≠-1,排除A,B;当n=2时,cs(n+1)π2=cs3π2=0≠1,排除C;经检验,D项符合题意.故选D.
答案:D
4.解析:∵an=-2n2+31n+9=-2(n-314)2+1 0338(n∈N+),
又7<314<8,
∴a7=128,a8=129,a7∴数列{an}中的最大项为129.
答案:129
5.解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项
公式为an=(-1)n(2n-1)+n(n+1)2.
(2)将数列前4项改写成分数的形式41,-52,63,-74,可得该数列的一个通项公式an=(-1)n+1n+3n.
(3)原数列可写成11,33,57,715,931,…,得该数列的一个通项公式为an=2n-12n-1.
(4)原数列可写成3×1,3×3,3×5,3×7,3×9,…,
得该数列的一个通项公式为an=3×(2n-1).
6.解:(1)a10=102+10-13=1093;
an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.
(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),
所以7923是该数列中的项,并且是第15项.
7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;
对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+12n+5,
所以an+1-an=n+12n+5-n2n+3=3(2n+5)(2n+3)>0,
故数列{an}是递增数列.
(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,
即an+1-an=kn+k2n+5-kn2n+3=3k(2n+5)(2n+3)<0恒成立.
因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.

类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项
小于它的前一项的数列
类别
an+1an>1
0an+1an=1
an>0
递增数列
递减数列
常数列
an<0
递减数列
递增数列
常数列