高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推课时练习

【精编】5.1.2 数列中的递推同步练习

一．单项选择

1．已知数列的通项公式，则数列的前项和取最小值时，的值是（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若为常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．已知数列满足：，则下列选项正确的是（    ）

A．时， B．时，

C．时， D．时，

5．数列的通项公式为，则（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

6．在数列中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

7．在数列中，若则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

9．在数列中，已知，，且等于的个位数，则为（    ）．

A．8 B．6 C．4 D．2

10．早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（    ）

A．2018 B．2020 C．2022 D．2024

11．已知数列满足，则此数列的通项等于

A． B． C． D．

12．无穷数列由k个不同的数组成，前n项和为，若对，则k的最大值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

13．已知数列的前4项依次为1，3，6，10，那么它的一个通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（    ）；（    ）.

A．35  

B．36  

C．37  

D．38  

15．数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：由求出的范围，即可得解

详解：解：令，则，解得，

因为

所以当时，，当时，，

所以数列的前项和取最小值时，，

故选：B

2．【答案】C

【解析】分析：首先设，根据题意得到，从而得到，即可得到，即可得到答案.

详解：由题知：设，

则，

所以.

又因为，

所以，，，，，

即，解得.

因为，所以，

又因为，所以，即.

故选：C

3．【答案】D

【解析】分析：先判断在时恒成立，代入化简得在在时恒成立，再计算，即得结果.

详解：因为数列为单调递增数列，所以，在时恒成立.

所以，

即在在时恒成立，而时，，

所以.

故选：D.

4．【答案】D

【解析】分析：由函数的单调性，可判定A．B不正确； 由，得到，得到，可判定C错误，D正确.

详解：对于A中，由于，则，

又由函数，当时为单调递减函数，

可得，所以，所以A错误.

对于B中，由于，且，

由在上单调递增，

可得，所以B错误

对于C．D中，由于，可得，

当，时，可得，所以C不正确；

又由当，可得，从而，

利用叠加法，可得，

故当时，，所以D正确.

故选：D.

【点睛】

方法点拨：构造函数，结合函数的单调性，是判定与的大小关系的关键；同时化简，得到是解答的关键.

5．【答案】B

【解析】根据数列的通项公式，代入，即可求解.

详解：由题意，通项公式为，

则

故选：

【点睛】

本题考查数列的通项公式，属于基础题.

6．【答案】A

【解析】分析：先由依次计算，判断数列是周期数列，再根据周期计算，即得结果.

详解：依题意，，，，，…，数列是以为周期的周期数列，

所以.

故选：A.

7．【答案】B

【解析】分析：根据递推关系，列举前面的部分项，即可归纳总结出周期性的规律，进而求得.

详解：

可以看出四个循环一次故

故选：B.

【点睛】

在关于数列递推关系求数列中的特定项的选择填空题中，常常使用归纳方法求解.

8．【答案】C

【解析】分析：令，求出的值，令，由得出，两式作差推导出，可知数列是等比数列，确定该等比数列的公比和首项，进而可求得的值.

详解：当时，，解得；

当时，由可得，

上述两式作差得，所以，，

设，可得，可得，解得，

所以，，，可得，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，，因此，.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

（1）当出现时，构造等差数列；

（2）当出现时，构造等比数列；

（3）当出现时，用累加法求解；

（4）当出现时，用累乘法求解.

9．【答案】B

【解析】分析：计算出数列的前几项，归纳出周期性，从而可得结论．

详解：由已知，，，，，，，，

所以数列从开始，奇数项为6，偶数项为2，所以．

故选：B．

10．【答案】B

【解析】分析：根据题设数据可得，从而可求的值.

详解：由题设中的数据可知数列满足：，，

故，

故选：B.

11．【答案】A

【解析】详解：

12．【答案】B

【解析】分析：对任意，依次列举的值，归纳可得的值与前面的某个值相同，则k的最大个数为4.

详解：只需考虑数列的前几项有多少个互不相同的数即可，

若，则，

当，则，此时的值必与前面的某个值相同；

当，则，

若，则，此时的值必与前面的某个值相同；

若，则，此时的值必与前面的某个值相同；

综上，当时，，

同理，当时，，

所以.

故选：B

13．【答案】A

【解析】分析：根据题意，由数列的前4项分析变化规律，归纳可得答案．

详解：解：第一项：1=1

第二项：3=1+2

第三项：6=1+2+3

第四项：10=1+2+3+4

因此规律为：.

故选：A.

14．【答案】C

【解析】分析：结合图形中的规律直接求出和，进而总结出递推公式时，，利用累加法即可求出结果.

详解：由图中规律可知：，

所以，

，

，

，

因此当时，，

所以

，

经检验当时，符合，所以，

故选：C.

15．【答案】B

【解析】分析：利用求出，则可得，进一步可得.

详解：当时，，得，

当时，，

所以，即，又，

所以数列是首项为，公比的等比数列，

所以，，

所以.

故选：B