数学选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推精品ppt课件

课程目标

学科素养

A. 逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.

B.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.

C..理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项

1.数学抽象：数列递推公式

2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系

3.数学运算：前n项和Sn求通项

4.数学建模：数列的概念

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？

观察

1，3， 6，10，15，…

中数字出现的规律，写出第8个数.

如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为

， ，

，，

因此，可以猜想，数列{an}应该满足

，从而可知，

，

，

显然，上述数列{an}可以由1，,      完全确定.

              一、数列的递推关系

       如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).

通项公式与递推公式的区别与联系

三、典例解析

例1. 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项；

（1） 1,2,4,7,11，…   

（2） -1,2,5,8,11，…   

（3） 1,-2,4,-8,16，….

解:（1）因为 ， ，

，，

所以，

即

从而可知，

（2）因为，

所以，

即

从而可知

（3）因为

所以,

即

从而可知

由递推公式写出数列的项的方法

(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.

(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.

(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=

跟踪训练1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=   给出,试写出这个数列的前5项.

解:∵a1=1,an+1=,∴a2=,

a3=,

a4=,

a5=.

故该数列的前5项为1,.

例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.

解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此

第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此

第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此

第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此

第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此

  一般地，当

新生的兔子对数，

又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有

例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列

 1，1，2，3，5，8,…

的通项公式为

因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！

问题2. 已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，

220，530，950，1360，1820，2350，

假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？

作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即

220+530+950+1360+1820+2350=7230

二、数列的前n项和

一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.

例如，对于尝试与发现中的数列来说，

S1=a1=220，

S2=a1+a2=220+530=750，

S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。

问题3.已知数列{an},的前项和为

Sn=2+1

你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？

因为S1=，

又因为S1=a1，所以a1

因为S2=，

又因为S2=a1+a2,所以a2

因为S3=，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3

所以，a3

三、 an与Sn的关系

一般的如果数列{an}的前项和为Sn，那么当有，

Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1

Sn=a1+a2+a3+…+an

所以Sn=Sn-1+an

因此an=

例3.已知数列{an}的前项和为求数列{an}的通项公式.

解：由题意可知当时有

又因为,所以时也成立，

因此

由Sn求an的方法

an=若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.

跟踪训练2. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;

(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.

分析:利用an=求解.

解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.

显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.

故数列{an}的通项公式为an=4n-5.

(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,

显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.

故数列{an}的通项公式为an=

通过正具体情境，引出数学问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列递推关系的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典例分析，深化对数列递推关系概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对数列递推关系的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，引入数列前项和的概念，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.下列说法错误的是(　　)

A.递推公式也是数列的一种表示方法

B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式

C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法

D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式

解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.

答案:C

2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于(　　)

A.6   B.7       C.8           D.9

解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),

∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.

答案:C

3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为(　　)

A.15      B.37     C.27         D.64

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.

答案:B

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则通项公式an=　　　　　. 

解析:∵an+1=an+ln,

∴a2-a1=ln=ln 2,

a3-a2=ln=ln,

a4-a3=ln=ln,

……

an-an-1=ln=ln.

以上(n-1)个等式相加,得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.

∵a1=2,∴an=2+ln n.

∵a1=2+ln 1=2,

∴{an}的通项公式为2+ln n.

答案:2+ln n

5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.

解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),

∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,

a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,

a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,

a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.

故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1．因为an＝Sn－Sn－1只有当n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．

2．要注意通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。