人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件随堂练习题

1.2.3　充分条件、必要条件

必备知识基础练

1.设a∈R,则“a>”是“a2>2”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

2.集合M={x|-1<x<1},P={x|b-a<x<a+b},若“a=1”是“M∩P≠⌀”的充分条件,则b的取值范围是(　　)

A.[-2,0) B.(0,2]

C.(-3,-1) D.(-2,2)

3.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　)

A.p:A⊆B,q:A∩B=A

B.p:a=b,q:|a|=|b|

C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0(x,y∈R)

D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数

4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

5.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是　　　,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是　　　　　. 

6.已知p:1≤x≤2,q:x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　. 

7.给出下列三组命题:

(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.

(2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.

(3)p:A⊆B,q:A∩B=A.

试分别指出p是q的什么条件.

8.设p:x>a,q:x>3.

(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;

(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;

(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.

关键能力提升练

9.(2022浙江金华高一期末)命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的 (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

10.(多选题)对任意实数a,b,c,下列命题中是真命题的是(　　)

A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件

B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件

D.“a<5”是“a<3”的必要条件

11.已知区间M=[a,a+1],则下列可作为“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充分不必要条件的是(　　)

A.a>-1 B.a>0 C.a≥-1 D.a≤0

12.已知p:m-1<x<m+1,q:2<x<6,q是p的必要条件,但q不是p的充分条件,则实数m的取值范围为(　　)

A.(3,5) 

B.[3,5]

C.(-∞,3)∪(5,+∞) 

D.(-∞,3]∪[5,+∞)

13.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是　　　　　. 

14.证明:对于任意x,y∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.

学科素养创新练

15.请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若x∈A是x∈B成立的　　　　　条件,判断实数m是否存在? 

参考答案

1.2.3　充分条件、必要条件

1.A　由a2>2,解得a>或a<-,则当a>时,有a2>2成立.当a2>2时,a>不一定成立,如a=-3时,满足a2>2,但a>不成立.所以“a>”是“a2>2”的充分不必要条件.故选A.

2.D　因为a=1,所以P={x|b-1<x<b+1},因为M∩P≠⌀,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,所以0≤b<2或-2<b≤0,即b的取值范围是(-2,2).

3.AC　选项A,C中,p都是q的充要条件.选项B中,p是q的充分不必要条件.选项D中,p是q的充分不必要条件.

4.A　当“a=2”时,A={1,4,-2},“A∩B={4}”.

当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.由此可知“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

5.(-∞,0]　[0,+∞)　因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.

6.(-∞,1)　∵p是q的充分不必要条件,

∴[1,2]⫋(a,+∞).

∴a<1,故实数a的取值范围为(-∞,1).

7.解(1)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,所以p是q的必要不充分条件.

(2)因为矩形的对角线相等,所以p⇒q,而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以qp.

所以p是q的充分不必要条件.

(3)因为p⇒q,且q⇒p,所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件,即p是q的充要条件.

8.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.

(1)若p是q的必要不充分条件,

则有B⫋A,所以a<3,a的取值范围为(-∞,3).

(2)若p是q的充分不必要条件,

则有A⫋B,所以a>3,a的取值范围为(3,+∞).

(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,即a=3,则有A=B,所以p是q的充要条件.

9.C　若a>b,则a+c>b+c,所以由命题p可以得出命题q;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以由命题q可以得出命题p.所以p是q的充要条件.故选C.

10.BD　A中“a=b”⇒“ac=bc”为真命题,但当c=0时,“ac=bc”⇒“a=b”为假命题,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A为假命题;

B中“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题,“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B为真命题;

C中“a>b”⇒“a2>b2”为假命题,“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故C为假命题;

D中{a|a<3}是{a|a<5}的真子集,故“a<5”是“a<3”的必要条件,故D为真命题.

11.B　因为M=[a,a+1],由“∀x∈M,x+1>0”可得,a+1>0,即a>-1.要找“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充分不必要条件,即是找a>-1对应集合的真子集.由题中选项易知B正确.

12.B　因为q是p的必要条件,q不是p的充分条件,所以由p能得到q,而由q得不到p,所以

所以3≤m≤5.

所以实数m的取值范围是[3,5].

13.0≤a≤2　因为A∩B=⌀,

所以所以0≤a≤2.

14.证明“⇐”:∵(x-1)2+(y-1)2=0,

∴x-1=0且y-1=0,∴(x-1)(y-1)=0,

即(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要条件;

“⇒”:∵(x-1)(y-1)=0,∴x-1=0,y-1≠0或x-1≠0,y-1=0或x-1=0,y-1=0,故不一定能得到(x-1)2+(y-1)2=0,即充分性不成立.

综上,对于任意x,y∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.

15.解若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集,则有解得m≥5,所以实数m的取值范围是[5,+∞).

若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,则有解得0<m≤3,所以实数m的取值范围是(0,3].

若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有方程组无解,

所以不存在满足条件的实数m.