圆的对称性 讲义2023年苏科版九年级中考数学复习

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圆的对称性  2022-2023苏科版数学九年级下册考点关键词模块三 圆的对称性1.圆的对称性（1）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条      都是它的对称轴． 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．2.弧、弦、圆心角的关系在               中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(          的度数与它所对的弧的度数相等.)3.垂径定理（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论
　平分弦(      )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（3）半径（r）、弦长（l）与弦心距（d）知二求一                   4.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.小试牛刀1．已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm．（1）则AB所对圆心角度数是     　．（2）弦AB所对弧的度数是　          　． 2．如图，在⊙O中，若，则AC与2CD的大小关系是：AC　   　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）3．将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是 　   　图形，直径所在的 　  　就是圆的对称轴。4．下列说法，正确的是　　A．等弦所对的圆周角相等 B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 C．圆的对称轴是圆的直径D．平分弦的直径垂直于弦5．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）A．40° B．45° C．50° D．60°6．如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为　　A．2 B．3 C．4 D．5    7．如图，，交于点、，与是否相等？为什么？     8．点是半径为5的内一点，且，在过点的所有的弦中，弦长为整数的弦的条数为　    　 ．   课后巩固1．如图，是的直径，若，等于线段长的线段有　　A．3条 B．4条 C．5条 D．6条2．下列说法中正确的有　　①直径相等的圆一定是等圆；②两个半圆一定是等弧；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的弦相等；⑤相等的圆心角所对的弦相等．A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．①④  3．已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的长度为　　A． B． C． D．5 4．如图，在中，直径弦，垂足为，则下列结论一定正确的是　　A． B． C． D．3．如图，已知弓形的弦长，弓高并经过圆心．求弓形所在的半径的长．      6．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（　　）A． B．3 C． D．
答案版：小试牛刀1．已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm．（1）则AB所对圆心角度数是　60°　．（2）弦AB所对弧的度数是　60°或300°　．【分析】（1）如图，连接OA、OB，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°；（2）根据圆心角所对弧的度数等于圆心角可得弦AB所对的劣弧的度数为60°，所以弦AB所对的优弧的度数为300°．【解答】解：（1）如图，连接OA、OB，∵OA＝OB＝AB＝6，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，即AB所对圆心角度数是60°；（2）∵AB所对圆心角度数是60°，∴弦AB所对的劣弧的度数为60°，弦AB所对的优弧的度数为300°．即弦AB所对弧的度数为60°或300°．故答案为60°，60°或300°． 2．（2020秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，若，则AC与2CD的大小关系是：AC　＜　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【解答】解：如图，连接AB、BC，在⊙O中，若，∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．3．将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是 　   　图形，直径所在的 　  　就是圆的对称轴。【解答】解：将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是轴对称图形，直径所在的直线就是圆的对称轴。故答案为：轴对称，直线。【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。4．（2020秋•北碚区校级月考）下列说法，正确的是　　A．等弦所对的圆周角相等 B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 C．圆的对称轴是圆的直径D．平分弦的直径垂直于弦【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，切线的性质，垂径定理逐项分析即可求得答案．【解答】解：、在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角有两种，分别在弦的两侧，优弧上有一种，劣弧上有一种，它们互补，不一定相等，故选项不符合题意；、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故选项符合题意；、圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故选项不符合题意；、如图：弦为直径时，就不能推出，只有平分弦（非直径）的直径，必垂直于这条弦；故选项不符合题意；故选：．5．（2016•兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据垂径定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可．【解答】解：，，，，点是的中点，，故选：． 6．（2018秋•太仓市期末）如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】连接，由为圆中弦的中点，利用垂径定理的逆定理得到垂直于，由的长求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为圆的半径．【解答】解：连接，在圆中，为的中点，，，，在中，，，根据勾股定理得：．故选：．7．（2019秋•苏州月考）如图，，交于点、，与是否相等？为什么？【分析】过点作，由等腰三角形的性质可知，再由垂径定理可知，故可得出结论．【解答】解：与是相等，理由如下；过点作，，，又在中，，．8．（2018秋•吴江区校级月考）点是半径为5的内一点，且，在过点的所有的弦中，弦长为整数的弦的条数为　    　 ．【分析】由，则是过的最短的弦，过的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数．【解答】解：如图，为过点的直径，是与垂直的弦，连，则过点的所有的弦中最长，最短，并且，，，在中，，，，，过点的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，在过点的所有的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条．故答案为4． 课后巩固答案版1．如图，是的直径，若，等于线段长的线段有　　A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【分析】易知：，则、、均为等边三角形，可据此判断出与相等的线段有几条．【解答】解：，；又，、、是全等的等边三角形；；因此与相等的线段由6条，故选．2．（2017秋•西城区校级期中）下列说法中正确的有　　①直径相等的圆一定是等圆；②两个半圆一定是等弧；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的弦相等；⑤相等的圆心角所对的弦相等．A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．①④【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理、垂径定理判断．【解答】解：①直径相等的圆一定是等圆，本小题说法正确；②两个半径相等的半圆一定是等弧，本小题说法错误；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本小题说法错误；④等弧所对的弦相等，本小题说法正确；⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本小题说法错误；故选：． 3．（2021•滨江区一模）已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的长度为　　A． B． C． D．5【分析】连接，设的半径为，由垂径定理得，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接，如图所示：设的半径为，弦于点．，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为，故选：．4．（2019•江川区模拟）如图，在中，直径弦，垂足为，则下列结论一定正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据垂径定理判断即可．【解答】解：连接，直径弦，垂足为，，，，，故选：．  5．（2019秋•赣县区期末）如图，已知弓形的弦长，弓高并经过圆心．求弓形所在的半径的长．【分析】设的半径为，根据垂径定理得到，由于，则利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：设的半径为，并经过圆心，，，在中，，解得，即的半径的长为10． 6．（2019•招远市一模）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（　　）A． B．3 C． D．【分析】过点作于，由垂径定理易知是中点，从而是中位线，即，而，故．【解答】解：过点作于，如图：为圆心，，，，，当、重合时，即垂直时，取最大值，最大值为．故选：．【点评】本题主要考查了垂径定理的基本应用、三角形三边关系，难度适中；过圆心作弦的垂线是运用垂径定理的常用技巧和手段，要熟练掌握．