圆周角讲义 2023年级苏科版数学九年级中考复习

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圆周角   2022-2023苏科版数学九年级下册考点关键词模块四  圆周角1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（如：图中          这样的角）
　　　　　2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，             所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是       ．4.圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.（2）性质：圆内接四边形的            .圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.小试牛刀1．（2021•苏州模拟）如图，是的直径，点在上，，则的度数为　　A． B． C． D．2．（2021•苏州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于　　A． B． C． D． 3．（2020秋•昭阳区期末）如图，在四边形中，、是对角线，，如果，那么　　    ．4．（2021•开福区模拟）如图，内接于，是的直径，，则　   　．5．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，若，则的度数为　　A． B． C． D．6．（2020秋•常熟市期中）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为　　A． B． C． D．7．（2021•苏州模拟）如图，四边形内接于，，若，则的度数为　　A． B． C． D．8．已知内接于，于，如果，那么的度数为　　A ． B ． C ．或 D ．或9．如图，四边形内接于，，，垂足为．（1）若，则　　；（2）求证：；（3）若，，求的值．
课后巩固1．（2019•罗湖区校级二模）如图，的半径垂直于弦，是优弧上的一点（不与点、重合），若，则等于         .2．（2020•昆山市二模）如图，是的直径，是上一点，连接，，过点作，交于点，连接，若，则的度数等于        .3．（2019秋•工业园区期末）如图，扇形的圆心角为，是上一点，则　   　．4．（2020秋•历下区期末）如图，四边形内接于，若它的一个外角，则　    　．5．（2021•龙岗区模拟）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与交于点，连接，若，则　    　． 6．（2020•道外区一模）已知内接于，若，则　     　． 7．（2020•姑苏区一模）如图，点、、、、在上，的度数为，则的度数是　　A． B． C． D．8．（2020秋•恩平市期中）如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的另一个交点为，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．
答案版：小试牛刀1．（2021•苏州模拟）如图，是的直径，点在上，，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】先利用等腰三角形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．【解答】解：，，．故选：．2．（2021•苏州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于　　A． B． C． D．【分析】连接，由平行线性质、等腰三角形的性质与圆周角定理证出，由平行线的性质得出，即可得出的度数．【解答】解：连接，如图所示：，，，，，，，，，；故选：． 3．（2020秋•昭阳区期末）如图，在四边形中，、是对角线，，如果，那么　　    ．【分析】由，可得点，，在以点为圆心的圆上，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：，点，，在以点为圆心的圆上，，．故答案为：．4．（2021•开福区模拟）如图，内接于，是的直径，，则　   　．【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得答案．【解答】解：是的直径，，，．故答案为：65．5．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，若，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】根据互补得出的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：，，，故选：．6．（2020秋•常熟市期中）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】设，，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出，即可求出答案．【解答】解：设，，圆心角和圆周角都对着，，四边形是的内接四边形，，，解得：，即，故选：．7．（2021•苏州模拟）如图，四边形内接于，，若，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】由圆周角定理得出，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可．【解答】解：四边形内接于，，，，，，故选：．8．已知内接于，于，如果，那么的度数为　　A ． B ． C ．或 D ．或【分析】等腰中， 由于，根据等腰三角形三线合一的特性可得平分顶角． 由此可求出的度数 ． 然后分两种情况讨论：①是锐角， 此时和圆心角所对的弧相同， 根据圆周角定理可求出的度数；②是钝角， 根据圆内接四边形的对角互补， 可求出此时的度数 ．【解答】解： 如图；是等腰三角形，，是的平分线， （等 腰三角形三线合一）；①当点在优弧上时， 由圆周角定理知，；②当点在如图点的位置时， 由圆内接四边形的对角互补知，；故选：． 9．（2020•张家港市模拟）如图，四边形内接于，，，垂足为．（1）若，则　110　；（2）求证：；（3）若，，求的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（3）过作于，根据等腰三角形的性质得到，，过作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：，，，四边形是的内接四边形，，故答案为：110；（2）证明：，，，，，，，；（3）解：过作于，，，，，，过作交的延长线于，，，，，，，，，，设，，，，．课后巩固答案版1．（2019•罗湖区校级二模）如图，的半径垂直于弦，是优弧上的一点（不与点、重合），若，则等于　　A． B． C． D．【分析】连接，根据垂径定理即可推出，然后根据圆周角定理即可推出的度数．【解答】解：连接，的半径垂直于弦，，，．故选． 2．（2020•昆山市二模）如图，是的直径，是上一点，连接，，过点作，交于点，连接，若，则的度数等于　　A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，再由为圆的直径，得出，然后利用互余计算的度数．【解答】解：，，，，为直径，，．故选：．3．（2019秋•工业园区期末）如图，扇形的圆心角为，是上一点，则　125　．【分析】作所对的圆周角，如图，根据圆周角定理得到，然后利用圆内接四边形的性质计算的度数．【解答】解：作所对的圆周角，如图，，，．故答案为125． 4．（2020秋•历下区期末）如图，四边形内接于，若它的一个外角，则　　．【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，求得，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．【解答】解：四边形内接于，，．故答案为．5．（2021•龙岗区模拟）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与交于点，连接，若，则　36　．【分析】根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，由三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：四边形是平行四边形，，，四边形是圆内接四边形，，，故答案为：366．（2020•道外区一模）已知内接于，若，则　     　．【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从若在优弧上时与若点在劣弧上时去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图，若在优弧上时，；若点在劣弧上时，．或．故答案为：50或130． 7．（2020•姑苏区一模）如图，点、、、、在上，的度数为，则的度数是　　A． B． C． D．【分析】连接、，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得．【解答】解：连接、，则，的度数为，，点、、、在上，四边形是圆内接四边形，，，．解法二：连接，利用四边形是圆内接四边形，解决问题即可．故选：． 8．（2020秋•恩平市期中）如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的另一个交点为，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）由为的直径，可得，又由，即可证得，然后由等边对等角，证得：；（2）首先设，由，，可得方程，继而求得的值，又由，，则可得．【解答】（1）证明：为的直径，，，，； （2）解：设，，，，，解得：，（舍去），，，，，．