高中2.6.1 双曲线的标准方程综合训练题

这是一份高中2.6.1 双曲线的标准方程综合训练题，共14页。试卷主要包含了双曲线的两个焦点为等内容，欢迎下载使用。
【特供】2.6.1 双曲线的标准方程同步练习一．填空题1．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.2．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为________.3．双曲线的两个焦点为．，点在双曲线上，若，则的面积是______.4．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为_________.5．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线与双曲线（，）的渐近线分别交于P，Q两点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________.6．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒;若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒;若，则与的离心率之比为______.7．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_______.8．若双曲线的离心率为，则直线的倾斜角为_______________________．9．已知双曲线，则渐近线方程为______；离心率e为______.10．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为_______.11．双曲线的虚轴长是___________________.12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为___________.13．已知F是双曲线的右焦点，若点P是双曲线的左支上一点，，则周长的最小值为______．14．已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，点的坐标为，则周长的最小值为_____________.15．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
参考答案与试题解析1．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，结合，，推出，然后求解离心率，再写一个简单的标准方程即可.详解：设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，又，，则，即有，所以，，再写一个简单的标准方程即可.故答案为：（答案不唯一）2．【答案】【解析】分析：根据渐近线方程，可得，根据以及离心率公式可得答案.详解：因为渐近线方程，所以，则，，故离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题.3．【答案】16【解析】分析：根据，得到，然后结合双曲线定义，求得，由求解.详解：根据题意可知，，因为，所以，由双曲线定义有，所以，即，所以.故答案为：164．【答案】【解析】分析：求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有的值，渐近线方程得，利用可解得得双曲线方程．详解：由题意椭圆焦点为，∴，设双曲线方程为()，则，由，解得．∴双曲线方程为．故答案为：．【点睛】易错点睛：本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．5．【答案】【解析】分析：先求出的面积，再利用等积法可求的关系，从而可求离心率.详解：不妨设在轴的上方，在轴的下方.抛物线的准线方程为：，双曲线的渐近线方程为：.故，，故.而，故，所以，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.6．【答案】【解析】分析：在椭圆双曲线“复合”光学装置中，由双曲线定义和椭圆定义，求得光线从出发到回到左焦点走过的路程，在单椭圆光学装置中，利用椭圆的定义求得光线经过次反射后回到左焦点的路程，再根据路程比等于时间比求解.详解：由双曲线定义得:①,由椭圆定义得:②②①得:，所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为:，对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点，路程为，由于两次光速相同，路程比等于时间比，，，.故答案为：1：27．【答案】【解析】分析：利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上求解.详解：因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，又双曲线的图象关于原点对称,所以点， 在双曲线上，所以，解得，所以其渐近线方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的对称性的应用以及渐近线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．【答案】【解析】分析：由离心率得到的值，从而得到结果.详解：∵双曲线的离心率为，∴，∴，∴直线的倾斜角为.故答案为：9．【答案】      【解析】分析：由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为，离心率详解：由已知得双曲线的焦点在轴上，，故其渐近线方程为，即，离心率.故答案为：①，②10．【答案】【解析】分析：根据题意可设双曲线的标准方程为，然后将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求得双曲线的方程.详解：由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，所以，双曲线的方程为，即为.故答案为：.【点睛】求已知渐近线的双曲线的方程，如果已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法．11．【答案】6.【解析】分析：根据双曲线的几何性质可以得出虚轴长.详解：解：双曲线的虚轴长是，所以双曲线的虚轴长是6.故答案为：6.【点睛】双曲线中：（1）实轴长为，实半轴长为；（2）虚轴长为，虚半轴长为.12．【答案】【解析】分析：取双曲线的右焦点，渐近线，利用点到直线的距离公式可得，再由即可求解.详解：解：取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即，依题意得，即，∴该双曲线的离心率，故答案为：.13．【答案】34【解析】分析：把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值．详解：双曲线中，，，即，设是双曲线的左焦点，，则∵在双曲线的左支上，∴，即，∴周长为，显然，当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立．∴周长的最小值为．故答案为：34.【点睛】方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是，则把转化为到另一焦点的距离，如果涉及的是，则转化为到相应准线的距离．14．【答案】12【解析】分析：设左焦点为，由双曲线的定义转化的周长为，即可得解.详解：由双曲线方程可知，，，故，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为，因为为定值，所以当最小时，的周长最小，此时点在线段与双曲线的交点处，如图所示，此时，所以周长的最小值为12.故答案为:12.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解.15．【答案】【解析】分析：先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.详解：由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：