高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知函数f (x)＝eq \f(x2＋sin x,x)，则该函数的导函数f ′(x)＝( )
A．eq \f(2x＋cs x,x2) B．eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)
C．eq \f(2x＋xcs x－sin x,x2)D．2x－csx
B [由题意可得f ′(x)＝eq \f(2x＋cs xx－x2＋sin x,x2)＝eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)，故选B.]
2．已知f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为( )
A．eq \f(19,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(13,3) D．eq \f(16,3)
B [∵f (x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f ′(x)＝3ax2＋6x，
又f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq \f(10,3).]
3．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)且满足f (x)＝2x·f ′(1)＋ln x，则f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝( )
A．eq \f(1,e)－2B．e－2
C．－1D．e
B [由题意得：f ′(x)＝2f ′(1)＋eq \f(1,x)，令x＝1得：f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1∴f ′(x)＝－2＋eq \f(1,x)，
∴f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝e－2.故选B.]
4．曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0
C [当x＝π时，y＝2sin π＋cs π＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sin x＋cs x上．∵y′＝2cs x－sin x，∴y′|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，则y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.]
5．已知函数f (x)＝aex＋x＋b，若函数f (x)在(0，f (0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )
A．1B．2
C．3D．4
B [∵f ′(x)＝aex＋1，∴f ′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f (0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.]
二、填空题
6．已知f (x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [因为f (x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f ′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f ′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)．故x＝1.]
7．曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．
y＝2x－e [y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0.]
8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
25π [因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝eq \f(1,4)πt2故水波面积的膨胀率为S′＝eq \f(1,2)πt.当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝eq \f(1,2)π×50＝25π.]
三、解答题
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg eq \f(1,xn)，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019.
[解] 因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝eq \f(n,n＋1)，即xn＝eq \f(n,n＋1)，
所以an＝lgeq \f(1,xn)＝lg(n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202.
10．设f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程．
[解] 因为f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f ′(1)＝3＋2a＋b，又f ′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f ′(2)＝12＋4a＋b，又f ′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq \f(3,2).
则f (x)＝x3－eq \f(3,2)x2－3x＋1，从而f (1)＝－eq \f(5,2).
又f ′(1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝eq \f(1,x2) B．(cs 2x)′＝－2sin 2x
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3xD．(lg x)′＝eq \f(－1,xln 10)
BC [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝－eq \f(1,x2)，(cs 2x)′＝－2sin 2x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3x，(lg x)′＝eq \f(1,xln 10).故选BC.]
12．(多选题)直线y＝eq \f(1,2)x＋b能作为下列函数图象的切线是( )
A．f (x)＝eq \f(1,x)B．f (x)＝x4
C．f (x)＝sin xD．f (x)＝ex
BCD [f (x)＝eq \f(1,x)，故f ′(x)＝－eq \f(1,x2)＝eq \f(1,2)，无解，故A排除；f (x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝eq \f(1,2)，故x＝eq \f(1,2)，即曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,16)))的切线为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,16)，B正确；f (x)＝sin x，故f ′(x)＝cs x＝eq \f(1,2)，取x＝eq \f(π,3)，故曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))的切线为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＋eq \f(\r(3),2)，C正确；f (x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝eq \f(1,2)，故x＝－ln 2，曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln 2，\f(1,2)))的切线为y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)ln 2＋eq \f(1,2)，D正确．故选BCD.]
13．(一题两空)已知f (x)＝xex，则f ′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
2e (－4，0) [f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，设点B(x0，x0eeq \s\up10(x0))为曲线C上任意一点．
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (a－x0)，即xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－aeq \s\up10(x0)－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.
∴a的取值范围是(－4，0)．]
14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
eln 3 [设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，
所以k＝3eq \s\up10(x0)ln 3，所以y＝3eq \s\up10(x0)ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3eq \s\up10(x0)ln 3·x0＝3eq \s\up10(x0)，
所以x0＝eq \f(1,ln 3)＝lg3 e.
所以k＝eln 3.]
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
切线的斜率k＝y′|eq \s\d10(x＝x0)＝2x0＝1，
所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，
即4x－4y－1＝0.