高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列评课ppt课件

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1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念.(数学抽象)2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.(数学运算)3.掌握等差数列的判断与证明方法.(逻辑推理)
【激趣诱思】下面是某篮球运动员一周训练时投球的个数:第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000.得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.你发现这个数列有什么特点?
一、等差数列 　　　　　　　　　　　　　　　 顺序不能颠倒一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.
名师点析 等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的单调性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.
微练习判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
二、等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, A 叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式 2A=a+b . 　　任意两个数均有等差中项且唯一
微思考在数列{an}中,当n≥2时,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?提示 是.因为an是an-1和an+1的等差中项,所以an-an-1=an+1-an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.
三、等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d .名师点析 (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
微练习(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是　　　　　. (2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=　　　　　. 答案 (1)an=10-5n　(2)4解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=(　　)A.504B.505 C.506D.507(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(　　)A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为　　　　　. 分析(1)(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.
答案 (1)C　(2)C　(3)an=5n-3解析 (1)根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2 022,则有4n-2=2 022,解得n=506.(2)首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.令an=43-3n<0,解得n> .因为n∈N*,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.
方法技巧等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.(3)通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.
变式训练 1在等差数列{an}中,求解下列各题:
例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项.(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2 020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
方法技巧等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式训练 2(1)(2021海南天一大联考高三模拟)等差数列1,2a,4a2,…的第五项等于(　　)
答案 (1)B　(2)等边三角形
角度1　等差数列的判断例3判断下列数列是不是等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是不是常数.解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
方法技巧用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
变式训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2,∴{an}不是等差数列.(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,∴an=1+2(n-2)=2n-3(n≥2),又a1=1不适合上式,∴{an}的通项公式为
角度2　等差数列的证明(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.
方法技巧证明等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.
易错警示 (1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.
方法点睛求解数列问题时,若已知条件中隐含等差数列的定义形式或等差中项公式,则可以转化为等差数列问题求解.
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案 A解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.
2.(2021广西桂林高二期末)在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　)A.6B.8C.16D.32答案 B解析 因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8.
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(　　)A.38B.40C.-36D.-38答案 B解析 ∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.
4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为　　　　　. 答案 3解析 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.所以m和n的等差中项为 =3.