北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值当堂达标检测题

【优选】3 函数的单调性和最值-3练习

一．填空题

1．已知函数的图象上存在两个点关于y轴对称，则实数m的取值范围为___________．

2．当时，记．已知，，则的图像与轴围成的图形的面积为________．

3．不等式（）对，恒成立，则的最大值为________．

4．若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.

5．设函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________.

6．已知函数若，则________．

7．已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为______．（用符号“”连接）

8．已知函数，方程有四个不同的实数根，则a的取值范围是___________.

9．若函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______．

10．已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为___________.

11．已知函数，则的所有零点之和为___________.

12．已知函数，若，且，则的最小值是________．

13．已知，函数，若，则__________.

14．设是直线上的动点，若，则的最大值为_________．

15．已知函数最小值为，则____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据偶函数的性质可得函数和函数存在两个交点，再结合函数的单调性得，由此可得出结论．

详解：解：∵函数的图象上存在两个点关于轴对称，

构造定义在上的函数和函数，

易得函数和函数均为偶函数，

∴函数和函数在上存在两个交点，

∴函数和函数在上存在一个交点，

又函数在上单调递增，函数在上单调递减，

∴，即，即，

故答案为：．

2．【答案】

【解析】分析：求得的解析式并作出简图，由对称性可得结果.

详解：依题意，

作出函数的简图，如图.

由对称性可知，函数的图象与轴围成的图形的面积等于矩形面积的.

故所求图形的面积为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：利用分离参数思想可得恒成立，令，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可得出最值.

详解：∵，，∴恒成立，

令，，，，

∵，当时，，

当时，，，，最大值取．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：（1）利用分离参数思想解决恒成立问题；

（2）利用导数判断函数的单调性，通过单调性得到最值.

4．【答案】4

【解析】分析：分段研究函数的单调性及最值得解

详解：在上单调递增，

∴；当时，，此时，.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为，函数有最有最小值，则，即，故的一个正整数取值可以为4.

故答案为：4

5．【答案】

【解析】分析：分析可得，结合函数解析式可求得结果.

详解：由已知条件可得.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：根据，求出实数的值，即可求出.

详解：解：，所以，

所以

所以.

故答案为：.

7．【答案】．

【解析】分析：转化条件为函数在上单调递减，结合指数函数．对数函数的性质可得，即可得解.

详解：因为，

所以，

所以函数在上单调递减，

因为函数满足，所以

因为即，所以，

又，，

所以，

所以即.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.

8．【答案】或

【解析】分析：作出函数的图象和直线，观察它们交点个数可得结论．

详解：∵f（x）＝，

∴在和上递增，

在，，上递减，

且，，，

作出函数的图象，作出直线，由图可得当或时，它们有四个交点，即方程有四个不等实根．

故答案为：或．

9．【答案】

【解析】分析：由分段函数的两段都递减，两个端点的函数值满足左大右小可得．

详解：解：函数是上的单调递减函数，

所以，

解得，

即，

所以实数的取值范围是．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：根据条件分析得到，然后根据的单调性分析出对应的最值，由此可求解出的取值范围.

详解：因为对，使得，

所以，

因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以，

又因为在上单调递增，所以，

所以，所以，即，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

11．【答案】

【解析】分析：根据题意，的所有零点之和，即为方程与的根之和，结合，求出所有根即可求解.

详解：根据题意，令，则易得的解为：，，

当时，结合，得：，；

当时，结合，可知方程无解.

故的所有零点之和为：.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：先由已知分析出函数在上为单调递增函数，由此，中有一个小于1，一个大于等于1，不妨设，，由此求出的关系式，转化为函数，利用导数即可求解．

详解：解：由函数解析式可知函数在每一段都为单调递增函数，

且当时，，当时，，所以函数在上为单调递增函数，

又，且，所以，中有一个小于1，一个大于等于1，

不妨设，，则，即，

所以，，

令，，所以，

当时，，函数为单调递减函数，

当时，，函数为单调递增函数，所以当时，函数，无最大值，

故的最小值为，

故答案为：．

13．【答案】.

【解析】分析：根据函数的解析式，求得，结合，列出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

则，解得.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：将代数式平方得出，设，分析函数在区间上的单调性，求出，即可得解.

详解：

，

令，

设，，其中，

任取．且，即，

所以，

，

，则，，，

所以，函数在区间上单调递增，

所以，函数在区间上单调递减，

，

所以，的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题求解代数式最值的求解，解题的关键就是将代数式平方后，利用换元法将代数式的最值转化为函数的最值来处理.

15．【答案】

【解析】分析：本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果.

详解：因为函数有最小值，所以，

因为，

所以，

因为函数最小值为，

所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意，

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.