数学必修 第一册2.2 古典概型的应用学案

第2课时　古典概型的应用

课前篇·自主梳理知识

【主题】　古典概型的应用

1．互斥事件的概率加法公式

在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝______________.

这一公式称为互斥事件的概率加法公式．

2．对立事件的概率加法公式

特别地，P(A∪)＝P(A)＋P()，即P(A)＋P()＝1，所以P()＝______________.

3．互斥事件概率加法公式的推广

一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝______________.

答案：

1．P(A)＋P(B)　2.1－P(A)

3．P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事件A与事件B互斥．(　　)

(2)在一个试验中，若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定对立．(　　)

(3)在一个试验中，事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)．(　　)

答案：(1)　(2)　(3)√

2．若A，B为互斥事件，则(　　)

A．P(A)＋P(B)<1   B．P(A)＋P(B)>1

C．P(A)＋P(B)＝1   D．P(A)＋P(B)≤1

答案：D

3．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于(　　)

A．0.3       B．0.2

C．0.1       D．不确定

答案：D　

解析：由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．

4．事件A和事件B是对立事件，且P(A)＝0.3，则P(B)等于________．

答案：0.7　

解析：P(B)＝1－P(A)＝0.7.

5．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________.

答案：0.6　

解析：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.4＝0.6.

6．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．

答案：0.65　

解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.

课堂篇·重难要点突破

研习　用互斥、对立事件的概率加法公式求概率

[典例]　一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率；

(2)至少射中7环的概率．

[审题路线图]求事件的概率⇒分析事件是互斥事件还是对立事件，然后利用公式求解．

解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.

(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，

所以射中10环或9环的概率为0.52.

(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87，

所以至少射中7环的概率为0.87.

[延伸探究]　(1)求上例题中射中环数小于8环的概率；

(2)某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动员在一次射击中，射中10环的概率．

解：(1)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.

(2)设事件A，B，C分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9环以下”，则＝A∪B.

因为P(A)＝2P(B)，

所以P()＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1－0.1＝0.9，即3P(B)＝0.9，

所以P(B)＝0.3，P(A)＝0.6.

故运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.

概率加法公式的应用

(1)直接用：首先要分清事件间是否互斥，同时要把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，直接应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得出结果．

(2)间接用：当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＝1－P()得出结果．

课后篇·演练提升方案

1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)

A．60%      B．30%

C．10%      D．50%

答案：D　

解析：甲不输包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.

2．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________．

答案：　

解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为＋＝.

3．某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，求：

(1)他乘火车或乘飞机去的概率；

(2)他不乘轮船去的概率．

解：设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4.

(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.

(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)＝P(A∪C∪D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＋0.4＝0.8，

另解：E与B是对立事件，

则P(E)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.

[易错误区]　和事件的概率

[典例]　抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝________.

[错解]　设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.

P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝.

则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝＋＋＝.

P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝＋＋＝.

故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.

[错因分析]　错解的原因在于忽视了概率加法公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．

[正解]　记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥，则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.

故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)

＝＋＋＋＝.

[答案]