2021学年1.1 随机现象导学案及答案

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随机现象 样本空间 随机事件新课程标准解读核心素养结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系数学抽象、直观想象、逻辑推理 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球，观察该球的号码．[问题]　(1)这个试验的结果共有多少种情况？如何表示这些结果？(2)如果改为抽取时先抽出一球，放回后再抽出一球，观察该球的号码，那么这个试验的结果共有多少种情况？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　随机现象1．确定性现象在一定条件下必然出现的现象．2．随机现象在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象．3．随机现象的两个特点(1)结果至少有种；(2)事先并不知道会出现哪一种结果．下列现象中，是随机现象的有(　　)①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．A．1个　　　　　　　　　 B．2个C．3个    D．4个解析：选C　当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．知识点二　样本空间1．样本空间一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作．2．样本点样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω.3．有限样本空间如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．“试验”具有广泛的含义，如抛掷硬币、投篮、摸球、产品抽样检验、明天会不会下雨等都可以看成试验．一个试验如果满足下列条件：(1)试验要在相同的条件下重复进行；(2)试验的所有结果是确定可知的，且不止一种；(3)每次试验总会出现这些结果中的一种，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪一种结果，则称这个试验为随机试验．　　　　 1．如何确定试验的样本空间？提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．2．观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？提示：不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．(1)这个试验的样本点的总数为________；(2)“数字之和为5”这一事件包含样本点为________．答案：(1)10　(2)(1，4)，(2，3)知识点三　随机事件1．随机事件一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．2．必然事件样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件．3．不可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件．事件与基本事件的区别基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生．而事件可以由若干个基本事件组成．　　　　 　给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序号是(　　)A．①②③④　　　　　 B．①②③C．①②④    D．①②解析：选C　“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件．①正确；“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错误；“从100个灯炮中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确．事件类型的判断[例1]　(链接教科书第192页习题A组1题)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　　　 [跟踪训练]指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(4)没有水分，种子发芽．解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．样本点和样本空间[例2]　(链接教科书第184页例1)某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．[解]　(1)当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.因此，这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．[母题探究](变条件)若将本例中的条件改为每次取一个，先取的小球的标号为x，记录编号后放回盒子摇匀，再取一个小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).试写出这个试验的样本空间．解：当x＝1时，y可取1，2，3，4.同理，x＝2，3，4时，对应的不同的试验结果也有4个．所以这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．　　　　 [跟踪训练]连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．解：(1)画树状图如图所示．因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}．事件与事件的表示[例3]　(链接教科书第186页例2，187页例3)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y).(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验包含的样本点的总数；(3)用集合表示下列事件：①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；③T＝“xy＝4”．[解]　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点总数为16.(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).所以M＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).所以N＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}；③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1).所以T＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}．1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　 [跟踪训练]甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).(1)写出样本空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．1．(多选)下列现象是随机现象的是(　　)A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点B．走到十字路口，遇到红灯C．异性电荷相互吸引D．抛一石块，下落解析：选AB　A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选A、B.2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为(　　)A．3    B．5C．6    D．9解析：选C　由题意，可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个，故选C.3．写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}