浙江省台州市三门启超中学等两校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2021学年第二学期二校期中联考

高一数学

满分：150分     考试时间：120分钟    考试范围：必修第二册6.1—8.3

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.

【详解】因为，

所以

复数对应的点是，

所以对应的点在第一象限.

故选：A.

2. 已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（    ）

A. （-7，-4） B. （7，4）

C. （-1，4） D. （1，4）

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】首先设，根据得到，再求的坐标即可．

【详解】设，则,

所以，，即,

所以 ,

故选：A

3. 下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，再根据平面向量共线的坐标表示即可求出答案．

【详解】解：已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，

选项A中，，则，故A错；

选项B中，由于，则，故B错；

选项C中，由于，则，故C错；

选项D中，，则不共线，可作为基底，故D对；

故选：D．

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．

4. 已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再画出直观图形，根据，，, 即可得到答案.根据直观图的画法，即可得到答案.

【详解】如图所示，

则的面积为：.

故选：A.

5. 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.

【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，

则解得所以．

圆锥的体积

故选：C

6. 在中，，则

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．

【详解】因为所以为的重心，

所以,

所以,

所以，因为，

所以，故选A．

【点睛】对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．

7. 已知点，则向量在方向上的投影为

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】，，向量在方向上投影为，故选A．

8. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．

【详解】解：为三角形内一点，且满足，

，

．

，

故选：D．

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件

C. 若复数，且，则

D. 若复数满足，则复数的虚部为

【9题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据复数的乘方运算法则判断A，根据复数的分类判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数相等的充要条件判断D；

【详解】解：对于A：因为，，，所以，故A正确；

对于B：由推不出是纯虚数，如，此时为实数，故充分性不成立；

由为纯虚数，则，故必要性成立，

故“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，即B正确；

对于C：因为，且，所以，解得，故C错误；

对于D：设，则，

则，故，解得，故D正确；

故选：ABD

10. 已知向量，，则（    ）

A.  B. 向量在向量上投影向量为

C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则

【10题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；

对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，

则，即，解得，

故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；

对于C选项，，，C选项正确；

对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.

故选：BCD.

11. 在中，角，，所对的边分别为，，，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【11题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】对于ABC，求出顶点A到BC边的距离与比较大小即可，对于D，由三个角和一边确定唯一个三角形

【详解】解：对于A，顶点A到BC边的距离为，因为，所以三角形有两个解，所以A不符合题意；

对于B，顶点A到BC边的距离为，因为，所以三角形是直角三角形，有唯一解，所以B符合题意；

对于C，顶点A到BC边的距离为，所以三角形无解，所以C不符合题意；

对于D，因为，，所以，因为，所以三角形的形状是唯一的，所以D符合题意，

故选：BD

12. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（   ）

A. 若，，，则

B. 若，，，且，则

C. 若直线过的中点，则

D.

【12题答案】

【答案】AB

【解析】

【分析】由，，即可判断A；

将两边平方可得的值，再结合即可判断B；

设的中点为，则再结合即可得之间的关系可判断C；取点使得，，，则点为的重心，可得，再利用三角形面积公式即可求，即可求得，即可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：若，，则，因为，

，代入可得即

，所以，可得，

故选项A正确；

对于B：若，，则，所以

所以，即，

所以，可得，

所以

，故选项B正确；

对于C：设的中点为，则

若直线过的中点，则存在实数满足，

即，

所以，所以，，所以不一定，故选项C不正确；

对于D：取点使得，，，则

，所以点为的重心，

因为重心到中点的距离等于中线的，所以重心到的距离等于高线的，可得，同理可得，，

所以，

所以，同理可得：，

，所以，故选项D不正确；

故选：AB.

【点睛】结论点睛：若点O为所在平面内一点，且，则

.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹围成的图形面积为_______．

【13题答案】

【答案】25π

【解析】

【分析】设z对应的点为(x，y)，根据题意可求(x，y)的轨迹，据此即可求出其围成的面积．

【详解】，

设z＝x＋yi，x、y∈R，则z在复平面对应点为(x，y)，

则，

∴z在复平面上对应点的轨迹围成的图形为以原点为圆心，半径为5的圆，

∴其面积为25π．

故答案为：25π﹒

14. 已知向量的夹角为，则________．

【14题答案】

【答案】7

【解析】

【分析】将模平方，结合数量积公式，化简计算，即可得答案.

【详解】

.

故答案为：7

15. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________.

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】

画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.

【详解】

如图有外接球的体积,圆柱的底面直径,故底面半径.故圆柱体积.

故球的体积与圆柱的体积的比值为.

故答案：

【点睛】本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解.属于基础题.

16. 如图，某景区的山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角；从B处攀登3千米到达D处，回头看索道AC，发现张角；从D处再攀登4千米到达C处，则索道AC的长为___________千米.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】中根据，求出，利用内角和定理算出，从而千米，利用余弦定理算出．然后在中，根据两边、长和夹角，利用余弦定理解出值，从而得出．

【详解】解：在中，千米，，

得中，千米，（千米）

在中，千米，

（千米）

千米．

故答案为：．

四、解答题：本题共6题，共70分．第17题10分，第18-22题每小题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 为何实数时，复数是：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？

【17题答案】

【答案】（1）或；（2）且；（3）

【解析】

【分析】先对复数整理得，

（1）要为实数，只要虚部为零，令即可；

（2）要为虚数，只要虚部不为零，令即可；

（3）要为纯虚数，只要实部为零，虚部不为零，由求解即可

【详解】解： 

．

（1）由得或，

即或时，为实数．

（2）由得且，

即且时，为虚数．

（3）由得，

即时，为纯虚数．

18. 已知向量，.

（1）若向量，且，求的坐标；

（2）若向量与互相垂直，求实数的值.

【18题答案】

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）设，利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标．

（2）由题意利用两个向量垂直的性质，代入模即可求出的值．

【详解】解：（1）设，因为，所以，

因为，所以，解得或，

所以或.

（2）因为向量与互相垂直

所以，即，

而，，所以，，

因此，解得.

19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

【19题答案】

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.

试题解析：（1）由已知可得

（2）

又

，

的周长为

考点：正余弦定理解三角形.

20. 如图，在平行四边形中，、分别在、上，且，，，.

（1）试用、表示、；

（2）若，，，求的值.

【20题答案】

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的减法、加法法则可得出、关于、的表达式；

（2）利用平面向量数量积的定义以及运算性质可求得的值.

【详解】（1）由已知可得，，

所以，，；

（2）由平面向量数量积的定义可得，

所以，.

21. 已知正四棱台(由正四棱锥截得且截面是正方形)的底面边长分别为20和10．

（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积．

（2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积．

【21题答案】

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】(1)由条件求正四棱台的斜高，再求其侧面积；(2)根据侧面积的大小求出正四棱台的斜高，再求四棱台和四棱锥的高，结合锥体体积公式求四棱锥的体积.

【小问1详解】

如图，设分别为上、下底面的中心，

过作于过作于

连接，则为正四棱台的斜高，

由题意知，

在中，，

又，

斜高，

∴  棱台的侧面积.

【小问2详解】

取的中点，的中点，则为棱台的斜高，

四条侧棱延长后交于点，

由题意侧面积

斜高

在直角梯形中，

，，

∴ 

由棱锥的性质得，

，所以

则正四棱锥的体积为

.

【点睛】

23. 如图,某大型景区有两条直线型观光路线，, ,点位于的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网(分别在和上)，围出三角形区域，且和都不超过5公里.设，(单位：公里).

（Ⅰ）求的关系式；

（Ⅱ）景区需要对两个三角形区域，进行绿化.经测算，区域每平方公里的绿化费用是区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.

【23题答案】

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当， (单位：公里)时,所需的总费用最少..

【解析】

【详解】试题分析：(Ⅰ) 由题意得，利用面积公式及条件可得 (其中)；

（Ⅱ）设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，则有，记，由(Ⅰ)可知，即，用均值不等式求最值即可.

试题解析：

(Ⅰ)解法一：由题意得，

故，

即，

所以 (其中).

解法二：在中，由余弦定理得：，

则，同理可得，

在中，由正弦定理得：，

在中，由正弦定理得：，

因为，两式相除可得，

化简得 (其中，).

(Ⅱ)设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，

则有，

记，由(Ⅰ)可知，即，

则，

当且仅当，即解得此时等号成立.

答：当， (单位：公里)时,所需的总费用最少.