2021-2022学年浙江省杭州市桐庐中学高一上学期12月阶段性测试数学试题含解析

2021-2022学年浙江省杭州市桐庐中学高一上学期12月

阶段性测试数学试题

一、单选题

1．的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接运用诱导公式化简求值．

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，给角求值，“负化正、大化小、小化锐、锐求值”．

2．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.

【详解】，

令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，

所以可以取的一个区间是.

故选：B

3．已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的周长为，所以，即，故扇形的面积为.

故选：C

4．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定的范围,进而可比较大小得选项.

【详解】解:，，，故.

故选：B.

5．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

【答案】A

【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器集到如下一组数据：

在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（       ）A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据选项中函数的递增特征进行判断即可.

【详解】根据数据可以知道：

当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；

当自变量增加到8时，y的增加也不是很多，所以不符合指数的增加特征，排除B；

当x增加时，y是缓慢增加，并没有靠近一常数的特征，所以排除D.

故选：C

7．函数在区间（，）内的图象是( 　 )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=

分段画出函数图象如D图示，

故选D．

8．已知函数是定义在上的增函数，，是其图象上的两点，那么 的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，，所要解的不等式等价于，再利用单调性脱掉，可得，再结合正弦函数的图象即可求解.

【详解】由可得，

因为，是函数图象上的两点，

所以，，所以，

因为是定义在上的增函数，

可得，解得：，

由正弦函数的性质可得，

所以原不等式的解集为，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为利用单调性可得.

二、多选题

9．下列关于函数的说法正确的是（       ）

A．在区间上单调递增 B．最小正周期是

C．图像关于成中心对称 D．图像关于直线成轴对称

【答案】BC

【分析】由正切函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以，又正切函数在和上单调递增，但在上不是单调递增，故A错误；

函数的周期为，故B正确；

由可知，当时，，即其图像关于成中心对称，故C正确；

因为正切函数无对称轴，故D错误；

故选：BC

10．下列化简正确是（       ）

A．若，则

B．

C．

D．

【答案】AB

【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系逐一证明即可.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误；

故选：AB

11．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.

【详解】作出函数与函数的图像，如图，

当时，根据图像得，故A选项正确；

当时，根据图像得，故D选项正确；

故选：AD.

12．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（       ）

A．点P第一次到达最高点需要20秒

B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】ABC

【解析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.

【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为

，

由题意得：解得：

∴.

故D错误；

对于A.令h=6，即，解得：t=20，故A对；

对于B令t =155，代入，解得：h=2，故B对；

对于C. 令t =50，代入，解得：h= -2，故C 对.

故选：ABC

【点睛】(1)多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

(2)在实际问题中求三角函数解析式的方法：

①求A通常用最大值或最小值；

②求ω通常用周期；

③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.

三、填空题

13．若，则________

【答案】

【分析】先求出，再利用对数的运算公式化简求值.

【详解】，

从而，

故答案为：

【点睛】本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．已知，，则 __________ .

【答案】

【分析】根据，可判断的符号，再将平方结合平方关系即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，即，

因为，

所以，

所以.

故答案为：.

15．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据题意可得，利用函数的单调性可得，整理得到

对上恒成立，设，进而列出不等式组，解之即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，且对恒有，

所以，

因为时，，所以，

又函数在上得到递增，所以，

两边同时平方，得，即，

令，即对恒小于或等于0，

所以，即，解得.

即b的取值范围为.

故答案为：

四、双空题

16．已知角终边上一点，______，____________.

【答案】          4

【分析】根据三角函数的定义求出，再由计算.

【详解】，则

故答案为：；4

17．若，则___________，_________.

【答案】         

【分析】分析所求值的角与已知值的角的关系，借助三角函数诱导公式即可作答.

【详解】因，

则；

.

故答案为：；

五、解答题

18．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）求出在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；

（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.

【详解】（1）由题意知，若，则，所以，

又因为，所以，得，所以；

（2）因为，所以，

正弦函数在区间上的单调递增区间为和，

此时即或，得或，

所以在上的递增区间为和.

19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元

（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1）；（2）3万元.

【解析】（1）根据题意，时，，求出，由利润销售收入固定成本投入成本促销费用，即可求解.

（2）由（1）的表达式，利用函数的单调性即可求解.

【详解】解：由题意知，当时，万件，

则，解得，．

因为每件产品的销售价格为元，

所以2020年的利润．

由（1）可知，

令，所以，

由在上单调递减；在上单调递增，

所以在取得最小值，即，

所以，

所以，

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

20．已知函数的最小值为，且.

（1）求实数a的值；

（2）求函数的最大值，并求此时x的取值集合.

【答案】（1）；（2）最大值5，.

【解析】（1）先将代入化简可得，再令，，，讨论二次函数对称轴与区间的关系即可求得最小值，令即可求解；

（2）由（1）可得，利用二次函数的性质可得时取得最大值，进而可求得此时x的取值集合.

【详解】（1）由题意得：，

令，则.

所以，，

①当时，即；在单调递增，

，所以不成立；

②当，即；

，

整理可得：，

解得：或（舍去）；

③当时，即，在单调递减，

，解得：，

不满足，不成立，

综上所述：.

（2）当时，，

因为，所以当，即，时，.

综上，当的取值集合为时，函数y的最大值为5．

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将表述为关于的函数，再换元令，得到关于的二次函数，讨论对称轴和区间的关系求出.

21．已知，函数.

（1）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；

（2）若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）按照复合函数的单调性分析方法分析的单调性，求出最值，建立关于a的不等式.再利用恒成立问题转化为求最值问题求解.

（2）化简方程，转化为二次方程在某范围内只有一个解，结合二次函数的性质分析a的取值范围.

【详解】解：由题意得

（1）因为在上为减函数，所以

又因为在为增函数，

所以

所以

在恒成立，

即在恒成立，

即在恒成立，

等价为在的最小值大于等于0，

因为在为增函数，

所以

即，所以的最小值为.

（2）方程，

即

可转化为，且

②当即时，，符合题意；

②当即时，，

（i）当时，符合题意

（ii）当时，且时，要满足题意，则有

或无解

综上可得，的取值范围.

【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．