2021-2022学年浙江省衢州市开化中学高一下学期5月教学检测数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省衢州市开化中学高一下学期5月教学检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A．. B． C． D．

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求得集合，再解含绝对值的不等式求得集合，然后结合交集的概念即可求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：D.

2．若复数，则的共轭复数的虚部为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】，则，因此，的共轭复数的虚部为.

故选：A.

3．若，，的标准差为2，则，，……，的标准差是（    ）

A．18 B．7 C．6 D．2

【答案】C

【分析】设，，的平均数为，则有，方差为，可求得，，……，的平均数以及方差，进而求得标准差.

【详解】设，，的平均数为，则有，方差为.

故，，……，的平均数为，

因此，，，……，的方差是

，

所以，，……，的标准差是6.

故选：C.

4．将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，球体最大体积的直径为棱长，利用球的体积公式即可求解.

【详解】正方体的棱长为3cm，

所以球体最大体积的半径，

所以球的体积：.

故选：B

【点睛】本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

5．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.

以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（    ）

A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平

B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值

C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元

D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

【答案】D

【分析】利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的数据即可求解.

【详解】对于A，57%×6%=3.42%<6%，错误；

对于B，57%×13%=7.41%>6%，错误；

对于C，（亿），错误；

对于D，根据题意，第二产业生产总值为亿元，正确.

故选：D.

6．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.

【详解】由于函数的周期为，，则，

利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选C.

【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

7．定义在R上的函数满足，则（      ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值.

【详解】当时，，，

两式相加可得，即

∴，

∴.

故选：D.

8．设，则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】变形为，利用基本不等式求解.

【详解】,

,

当且仅当和，即时取等号，

故选：D.

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．方程的实根有三个

【答案】CD

【分析】利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可.

【详解】对于A，当时，，

因为，所以，

所以，故A错误；

对于B，由反函数的性质可知，

由于与的图象关于对称，

且的图象恒在图象的下方，所以恒成立，

故B错误；

对于C，，，即恒成立，

故C正确；

对于D，与有且仅有三个交点，故D正确.

故选:CD.

10．已如直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．与不相交

【答案】ACD

【分析】根据空间中的线面关系对各选项逐一判断即可求解

【详解】解：对A选项：因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以，故选项A正确；

对选项B：因为直线平面，，直线平面，所以与平行或与相交或与异面，故选项B错误；

对选项C：因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以，故选项C正确；

对选项D：因为直线平面，，所以直线平面或直线平面，即直线与不相交，故选项D正确；

故选：ACD.

11．已知函数，则（    ）

A．最小正周期为 B．关于直线对称

C．在上单调递减 D．最大值为

【答案】BC

【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式求出，利用正弦函数的性质依次求出最小正周期、最大值、对称轴和单调减区间即可.

【详解】

，

所以函数的最小正周期为，最大值为，故AD错误；

令，即对称轴为，故B正确；

令，解得，，

当时，函数的单调减区间为，

又，所以在上单调递减，故C正确.

故选：BC.

12．已知向量，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则四边形ABDC为菱形

B．向量在向量上的投影向量为

C．若，E，F分别满足，则

D．若点G为三角形ABC的重心，则

【答案】AB

【分析】A由已知有、即可判断；B根据向量数量积的几何意义及投影向量的定义求结果；C、D由、、、分别求出坐标，再应用向量的坐标运算求结果.

【详解】A：由，则，故且，同理且，又，则四边形ABDC为菱形，正确；

B：在上的投影向量为，正确；

C：由A知：四边形ABDC为菱形，则 ，，所以，错误；

D：由G为三角形ABC的重心，则，故，，故，所以，错误.

故选：AB

三、填空题

13．求值：__________．

【答案】

【分析】利用指数、对数的运算性质化简可得结果.

【详解】.

故答案为：.

14．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是__________．

【答案】

【分析】结合斜二测直观图的画法原则可得，从而可得到，进而求出三角形的周长.

【详解】斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半，所以，又因为，所以，因此的周长为，

故答案为：.

15．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵，横．油画挂在墙壁上时，其最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为，为使观赏视角最大，则应为______．

【答案】cm

【分析】设，在直角三角形中表示出和，结合两角和正切公式求出，利用基本不等式即可求得观赏视角最大时x的值.

【详解】如图，作垂直于的延长线，垂足为D,则 ，

 设,则,

,

即，解得，

因为 当且仅当即时取等号，

所以，此时观赏视角最大，

此时cm,

故答案为：cm.

16．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】易知单调递增，且，将问题转化为不等式对恒成立求解.

【详解】解：因为函数单调递增，

所以单调递增，

又，

所以不等式对恒成立，

即不等式对恒成立，

即，对恒成立，

而对于，，

所以，

故实数的取值范围是，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，，．

（1）求的最小值及相应的t值；

（2）若与共线，求实数t．

【答案】（1）最小值为，；（2）．

【分析】（1）由向量的坐标运算和模的计算公式计算，再由二次函数求最值即可；

（2）由平面向量共线的充要条件列方程解得可得．

【详解】解：（1）因为，，

所以，

所以．

当且仅当时取等号，即的最小值为，此时．

（2）因为，

又与共线，，

所以，

解得．

18．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．

(1)证明：∥平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）连结，先证明四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明结论.

（2）过C作的垂线，垂足为H，证明平面，说明的长为C到平面的距离，解直角三角形即可求得答案.

【详解】（1）证明∶连结，

∵分别是 的中点,∴,且 ，

∵N为的中点，∴ ，

由题设知 ，即四边形为平行四边形，

 ∴ ，∴ ，

∴四边形为平行四边形，故，

∵ 平面，平面，∴平面．

（2）过C作的垂线，垂足为H，

由已知可得四边形为菱形，，，

连接 则为等边三角形，而E为的中点,

所以 ，又因为平面，平面，

所以 ，平面 ，∴平面,

又平面, ∴，而,

平面 ,所以平面，

∴的长为C到平面的距离，

由已知得

所以点C到平面的距离为 .

19．2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为学生组织了系列学党史活动．为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了1名同学进行党史知识测试，满分100分，并将这名同学的测试成绩按，，，，分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．已知测试成绩在的学生为70人．

（1）求的值及频率分布直方图中的值；

（2）为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下该学生的成绩至少达到多少分；

（3）学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于80分，只需发放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习．请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党史知识大讲堂，并说明理由．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

【答案】（1）200，；（2）86分；（3）按照学校的预案，只需要发放学习资料即可，理由见解析.

【分析】（1）频数除以频率等于样本容量求出，利用频率和为1列方程计算的值；

（2）转化为求第60百分位数；

（3）估计平均数，并与80进行比较．

【详解】（1）由已知条件可得，

由频率和为1得，

解得．

（2）因为，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，

因为，

，

所以第60百分位数在区间内，

设该生得分最低为，则，

解得，所以估计该生的得分至少达到86分.

（3）由频率分布直方图可得

，

因为，

所以按照学校的预案，只需要发放学习资料即可.

20．在中，三个角，，所对的边分别是，，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，可得的值；

（2）由已知利用三角形的面积公式可得，进而根据余弦定理可求，的值，即可得解的周长；

【详解】（1）由正弦定理知，已知条件可化为，

又在中，

所以，因为，所以，

又因为，所以．

（2）因为，

所以，得，

由知，，

所以，，

所以的周长为．

21．如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，.

(Ⅰ)求与平面所成的角的正弦值；

(Ⅱ)棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)存在，.

【分析】(Ⅰ) 取的中点，连结，利用题目条件说明平面，再过点过作于点，连，通过证明平面来说明与平面所成的角为，再在中求；

(Ⅱ) 过作于点，连结，作交于点，交于点

先证明，再根据要使得平面平面，则需，利用求出的长，再由得，，可得.

【详解】(Ⅰ)取的中点，连结，过作于点，连，

又因为，所以为的外心，

又由，所以在平面上射影是的外心

所以平面，

所以平面平面，所以平面

所以为与平面所成的角

在中，，，

在中，，

在中，，，所以，

故与平面所成的角的正弦值．

(Ⅱ)过作于点，连结，作交于点，交于点，

由(Ⅰ)得平面，又平面，所以，

又，，都在平面内，且相交于点，所以平面，

又平面，所以

要使得平面平面，则需

在中，，，

所以，，

在中，，

由得，，所以．

故棱上存在点，使得平面平面，且当时有平面平面.

22．已知函数，.

(1)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

(2)若函数在区间上单调递减，求a的最小值；

(3)若，对任意均有，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）求出函数的定义域，有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不等的实根，即关于x的方程在函数的定义域内有两个不等实根，列出不等式组，解之即可得解；

（2）设对任意的，，且，利用作差法，根据函数在区间上单调递减，，分离参数即可得出答案；

（3）由（2）得当时，在上单调递减，所以，分，两种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

因为有两个不同的零点，所以关于x的方程有两个不等的实根，所以，

因为关于x的方程有两个大于的不等实根，

所以，，解得；

（2）解：设对任意的，，且，

.

因为在上单调递减，所以，

又因为，所以，

所以恒成立，

因为，

所以，，

所以，

因此a的最小值是1；

（3）解：由（2）得当时，在上单调递减，所以，

即当时，，

当时，

设，

由，得，

①当时，在上单调递增，

所以成立，

②当时，，

因为二次函数的对称轴，

所以在上单调递增，

所以，当时，，

所以成立，

综上，实数m的取值范围是.