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2021-2022学年山西省晋中市平遥二中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）
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这是一份2021-2022学年山西省晋中市平遥二中高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知复数z=2i3-i，则z的共轭复数z-=( )
A. -15-35iB. -15+35iC. 15+35iD. 15-35i
已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则|a-b|=( )
A. 2B. 2C. 52D. 50
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为( )
A. 50B. 100C. 150D. 250
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红、黑球各一个D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为( )
A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 60°
已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π3B. 4πC. 2πD. 43π
已知直线l和平面α，β.且l⊂α，则“l//β”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是( )
A. OA+OC+OB=0
B. (OA+AF)⋅BC=OA⋅BC+AF⋅BC
C. (OA-AF)⋅(EF-DC)=0
D. |OF+OD|=|FA+OD-CB|
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是( )
A. D1C//平面A1ABB1
B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DB
D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是( )
甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．
A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=ccsA，角A的角平分线交BC于点D，AD=1，csA=18，以下结论正确的是( )
A. AC=34B. AB=8
C. CDBD=18D. △ABD的面积为374
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
现采用随机模拟的方法估计小张三次射击全部命中十环的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟，产生了如下20组随机数：
321 426 292 925 274 642 800 478 598 668 531 297 286 026 506 318 240 846 507 965，据此估计，小张三次射击全部命中十环的概率为______．
如图，在△ABC中，AN=12AC,P是BN的中点，若AP=mAB+14AC，则实数m的值是______．
某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2019年高考中的方差为______．
如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是_________．
(写出所有正确结论的序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC//平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B，AC的中点．
(1)证明：EF//平面A1C1D；
(2)求三棱锥F-A1C1D的体积．
(本小题12.0分)
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：
(1)一切可能的结果组成的基本事件空间；
(2)取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
(本小题12.0分)
计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
(本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3c2=16S+3(b2-a2).
(1)求tanB的值；
(2)若S=42，a=10，求b的值．
(本小题12.0分)
已知向量a，b满足|a|=|b|=1，|xa+b|=3|a-xb|(x>0,x∈R)，
(1)求a⋅b关于x的解析式f(x)；
(2)求向量a与b夹角的最大值；
(3)若a//b且方向相同，试求x的值．
(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，PD的中点为F．
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF//平面PCG，若存在，指出点G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若∠ABC=π3，求二面角F-AC-D的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z=2i3-i=2i(3+i)(3-i)(3+i)=-15+35i，
∴z-=-15-35i．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
利用向量的坐标减法运算求得a-b的坐标，再由向量模的公式求解，
【解答】
解：∵a=(2,3)，b=(3,2)，
∴a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1)，
∴|a-b|=(-1)2+12=2．
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了古典概率的问题，采用一一列举法，属于基础题．
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，列举出所有的基本事件共有10种，其中全是女生的有3种，根据概率公式计算即可，
【解答】
解：2名男同学设为A1，A2，3名女同学设为B1，B2，B3，
从5个人中任选2人参加社区服务，包含的基本事件为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，共10个，
其中，选中的2人都是女同学有：B1B2，B1B3，B2B3，共3个，
故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查频数的求示，考查频率分布直方图的性质等基础知识，是基础题．
产量在75件以上(含75件)的工人包括第4组和第5组的工人，求出f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15.由此能求出该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数．
【解答】
解：产量在75件以上(含75件)的工人包括第4组和第5组的工人，
∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．
∴该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为：
1000×0.15=150．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查互斥而不对立事件的判断，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用，属于基础题．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，sin2A+sin2B=2sin2C，
利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，
∴csC=a2+b2-c22ab=c22ab>0，即C为锐角，
故选：C．
已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理判断出csC的正负，即可确定出C．
此题考查了余弦定理，以及正弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正四棱柱外接球的体积，属于中档题．
正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，根据球的体积公式计算即可．
【解答】
解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，
∴正四棱柱体对角线的长为1+1+2=2，
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，
则该球的体积V=43πR3=43π.
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：因为直线l和平面α，β.且l⊂α，
当“l//β”时，则α，β可能平行，也可能相交，
当“α//β”时，则“l//β”一定成立，
则“l//β”是“α//β”的必要不充分条件，
故选：B．
由面面平行的判定定理可得必要性成立，充分性不成立．
本题考查了四个条件的应用，涉及到面面平行的判定定理，考查了学生的理解能力，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，由向量加法的平行四边形法则可得：OA+OB+OC=(OA+OC)+OB=2OB，即选项A错误；
对于选项B，由向量数量积的运算可得：(OA+AF)⋅BC=OA⋅BC+AF⋅BC，即选项B正确；
对于选项C，(OA-AF)⋅(EF-DC)=(OA-AF)⋅(EF-EO)=(OA-AF)⋅OF=OA⋅OF-FA⋅FO=0，即选项C正确；
对于选项D，由向量加法的平行四边形法则可得：OF+OD=OE，FA+OD-CB=FA+AO+OD=FD，又|OE|≠|FD|，即选项D错误，
故选：BC．
由平面向量数量积的运算及平面向量的线性运算，结合向量加法的平行四边形法则，逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为平面A1ABBB1//平面D1C1D1，而D1C⊂平面D1D1D1，故D 1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C//平面A1ABB，所以A正确；
对于B，因为A1D1//BC，所以A1D1⊂平面BCD1，所以B错误；
对于C，只有AD⊥D1D，而AD与平面BDD1内其他直线不垂直，所以C错误；
对于D，在正方体ABCD-A1-B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D正确；
故选：AD．
根据面面平行的定义可判断A；根据A1D1//BC，可知A1D1⊂平面BCD1，由此可判断B；根据线面垂直的定义和判定定理可判断C；根据面面垂直的判定定理可判断D．
本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的关系，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．
在A中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A成立；
在B中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B不成立；
在C中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C不成立；
在D中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D成立．
故选：AD．
利用方差、中位数、极差、众数的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查方差、中位数、极差、众数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为b=ccsA，
由正弦定理可得，sinB=sinCcsA=sin(A+C)，
所以sinAcsC=0，
因为sinA≠0，
所以csC=0即C=12π，
∵18=csA=ACAB，
由角平分线定理可得，ACAB=CDBD=18，
设AC=x，AB=8x，则BC=37x，CD=73x，
Rt△ACD中，由勾股定理可得，x2+(73x)2=1，
解可得x=34，即AC=34，AB=6，
∵SABC=12×34×6×638=27732，
所以S△ABD=89SABC=374．
故选：ACD．
由已知结合正弦定理及和角公式化简可求C=12π，然后结合锐角三角函数定义可得csA=ACAB，再结合角平分线定理及勾股定理和三角形的面积公式对各选项进行判断即可．
本题综合考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线定理及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档试题．
13.【答案】14
【解析】解：由题意可得，20组随机数中共有426，642，286，846，668表示三次射击全部命中，共5组，
故估计小张三次射击全部命中十环的概率为520=14．
故答案为：14．
20组随机数中共有426，642，286，846，668表示三次射击全部命中，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：因为AN=12AC，所以N为AC的中点，
因为P是BN的中点，
所以NP=12NB=12(AB-AN)=12(AB-12AC)=12AB-14AC，
所以AP=AN+NP=12AC+12AB-14AC=12AB+14AC，
因为AP=mAB+14AC．
所以m=12，
故答案为：12
根据平面向量基本定理结合已知条件将AP用AB,AC表示即可求出m的值．
本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】187
【解析】解：由题意甲的平均值为x-1=665，方差为S12=131，
乙的平均值为x-2=658，方差为S22=208，
则总体平均值为x-=30×66570+40×65870=661，
方差为S2=3070[131+(665-661)2]+4070×[208+(658-661)2]=187．
故答案为：187．
先求出总体均值，再由方差的关系计算求解．
本题考查平均数、方差的定义、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】②④
【解析】
【分析】
利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质的合理运用．
【解答】
解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；
∵PA⊥平面ABC，AE⊥AB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；
∵BC//AD//平面PAD，∴直线BC//平面PAE也不成立，即③不成立．
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④成立．
故答案为：②④．
17.【答案】解：(1)证明：连结BD，
∵E、F分别为AB，BD的中点，∴EF//A1D，
∵EF⊄面A1C1D，A1D⊂面A1C1D，
∴EF//面A1C1D.
(2)解：∵FD⊥AC，FD⊥CC1，
∴FD⊥平面ACC1A1，
∴三棱锥F-A1C1D的体积：
VF-A1C1D=VD-A1C1F=13⋅12⋅22⋅22=43．
【解析】(1)连结BD，推导出EF//A1D，由此能证明EF//面A1C1D.
(2)由FD⊥AC，FD⊥CC1，得FD⊥平面ACC1A1，由此能求出三棱锥F-A1C1D的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，
即(a1,a2)，(a1,b1)，(a2,a1)(a2,b1)，(b1,a1)，(b1,a2).
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
(2)用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1,b1)，(a2,b1)，(b1,a1)，(b1,a2)}．
∴事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=46=23．
【解析】(1)注意先后顺序以及是不放回的抽取；
(2)在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
19.【答案】解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，
“丙获得‘合格证书’”为事件C，
则P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59
从而P(A)所以丙获得“合格证书”的可能性大…(7分)
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，
则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：
P(D)=P(ABC-)+P(AB-C)+P(A-BC)=25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．
【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)由題意得：8acsinB=3(a2+c2-b2).即：4sinB=3⋅a2+c2-b22ac，
整理可得：3csB-4sinB=4sinB，
又sinB>0．
所以csB>0，
所以：tanB=sinBcsB=34．
(2)由tanB=34，得sinB=35，
又S=42，a=10，
则S=12acsinB=12×10c×35=42，
解得c=14．
将S=42，a=10，c=14，代入6c2=16S+3(62+c2-a2)中，得：6×142=16×42+3(b2+142-102)，
解得：b=62．
【解析】(1)由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得3csB-4sinB=4sinB，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanB的值．
(2)由同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式可求c的值，即可求解b的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵|xa+b|=3|a-xb|(x>0,x∈R)，
∴x2a2+2xa⋅b+b2=3a2-6xa⋅b+3x2b2；
∵|a|=|b|=1，
∴8xa⋅b=2x2+2⇒a⋅b=14(x+1x)(x>0)；
即f(x)=14(x+1x)(x>0)；
(2)设向量a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|═14(x+1x)≥14×2x⋅1x=12，当且仅当x=1时取等号；
所以：θ∈[0,π]．
∴向量a与b夹角的最大值为：π3．
(3)∵a//b且方向相同，且|a|=|b|=1，
∴a=b；
∴a⋅b=14(x+1x)=1⇒x=2±3．
【解析】(1)利用其模长相等即可整理得到关于x的解析式；
(2)求出夹角的余弦值，借助于余弦的单调性即可求解；
(3)根据条件得到a=b；再代入其数量积即可求解结论．
本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)在线段AB上存在G且为AB中点，使得AF//平面PCG．
证明如下：如图所示，设PC的中点为H，连接FH．
因为FH//CD，所以FH=12CD，AG//CD，AG=12CD，所以FH//AG，FH=AG．
所以四边形AGHF为平行四边形，则AF//GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC．
∴AF//平面PGC．
(2)过F作FM⊥AD于点M，过M作MO⊥AC于点O，连接FO，连MC．
∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，∴FM//PA．
∵F为PD的中点，所以M为AD中点，AM=1，所以FM⊥平面ABCD，而OC⊂平面ABCD．
∴FM⊥OC，又OC⊥MO，FM∩MO=M，FM，OM⊂平面FMO．
所以OC⊥平面FMO，OF⊂平面FMO，∴OC⊥FO，∴∠FOM为二面角F-AC=-D平面角．
∵∠ABC=60°，∴∠DAC=60°，∴MO=ANsin60°．
∴cs∠FOM=3212+(32)2=217．
【解析】(1)取AB中点G，可证AF//平面PCG；
(2)过F作FM⊥AD于点M，过M作MO⊥AC于点O，证明∠FOM为二面角F-AC-D的平面角，在直角三角形中解之可得．
本题主要考查线面平行的判定和二面角的平面角的余弦值的求法，属于中档题．
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知复数z=2i3-i，则z的共轭复数z-=( )
A. -15-35iB. -15+35iC. 15+35iD. 15-35i
已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则|a-b|=( )
A. 2B. 2C. 52D. 50
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为( )
A. 50B. 100C. 150D. 250
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红、黑球各一个D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为( )
A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 60°
已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π3B. 4πC. 2πD. 43π
已知直线l和平面α，β.且l⊂α，则“l//β”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是( )
A. OA+OC+OB=0
B. (OA+AF)⋅BC=OA⋅BC+AF⋅BC
C. (OA-AF)⋅(EF-DC)=0
D. |OF+OD|=|FA+OD-CB|
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是( )
A. D1C//平面A1ABB1
B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DB
D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是( )
甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．
A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=ccsA，角A的角平分线交BC于点D，AD=1，csA=18，以下结论正确的是( )
A. AC=34B. AB=8
C. CDBD=18D. △ABD的面积为374
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
现采用随机模拟的方法估计小张三次射击全部命中十环的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟，产生了如下20组随机数：
321 426 292 925 274 642 800 478 598 668 531 297 286 026 506 318 240 846 507 965，据此估计，小张三次射击全部命中十环的概率为______．
如图，在△ABC中，AN=12AC,P是BN的中点，若AP=mAB+14AC，则实数m的值是______．
某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2019年高考中的方差为______．
如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是_________．
(写出所有正确结论的序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC//平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B，AC的中点．
(1)证明：EF//平面A1C1D；
(2)求三棱锥F-A1C1D的体积．
(本小题12.0分)
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：
(1)一切可能的结果组成的基本事件空间；
(2)取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
(本小题12.0分)
计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
(本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3c2=16S+3(b2-a2).
(1)求tanB的值；
(2)若S=42，a=10，求b的值．
(本小题12.0分)
已知向量a，b满足|a|=|b|=1，|xa+b|=3|a-xb|(x>0,x∈R)，
(1)求a⋅b关于x的解析式f(x)；
(2)求向量a与b夹角的最大值；
(3)若a//b且方向相同，试求x的值．
(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，PD的中点为F．
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF//平面PCG，若存在，指出点G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若∠ABC=π3，求二面角F-AC-D的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z=2i3-i=2i(3+i)(3-i)(3+i)=-15+35i，
∴z-=-15-35i．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
利用向量的坐标减法运算求得a-b的坐标，再由向量模的公式求解，
【解答】
解：∵a=(2,3)，b=(3,2)，
∴a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1)，
∴|a-b|=(-1)2+12=2．
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了古典概率的问题，采用一一列举法，属于基础题．
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，列举出所有的基本事件共有10种，其中全是女生的有3种，根据概率公式计算即可，
【解答】
解：2名男同学设为A1，A2，3名女同学设为B1，B2，B3，
从5个人中任选2人参加社区服务，包含的基本事件为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，共10个，
其中，选中的2人都是女同学有：B1B2，B1B3，B2B3，共3个，
故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查频数的求示，考查频率分布直方图的性质等基础知识，是基础题．
产量在75件以上(含75件)的工人包括第4组和第5组的工人，求出f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15.由此能求出该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数．
【解答】
解：产量在75件以上(含75件)的工人包括第4组和第5组的工人，
∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．
∴该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为：
1000×0.15=150．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查互斥而不对立事件的判断，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用，属于基础题．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，sin2A+sin2B=2sin2C，
利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，
∴csC=a2+b2-c22ab=c22ab>0，即C为锐角，
故选：C．
已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理判断出csC的正负，即可确定出C．
此题考查了余弦定理，以及正弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正四棱柱外接球的体积，属于中档题．
正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，根据球的体积公式计算即可．
【解答】
解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，
∴正四棱柱体对角线的长为1+1+2=2，
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，
则该球的体积V=43πR3=43π.
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：因为直线l和平面α，β.且l⊂α，
当“l//β”时，则α，β可能平行，也可能相交，
当“α//β”时，则“l//β”一定成立，
则“l//β”是“α//β”的必要不充分条件，
故选：B．
由面面平行的判定定理可得必要性成立，充分性不成立．
本题考查了四个条件的应用，涉及到面面平行的判定定理，考查了学生的理解能力，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，由向量加法的平行四边形法则可得：OA+OB+OC=(OA+OC)+OB=2OB，即选项A错误；
对于选项B，由向量数量积的运算可得：(OA+AF)⋅BC=OA⋅BC+AF⋅BC，即选项B正确；
对于选项C，(OA-AF)⋅(EF-DC)=(OA-AF)⋅(EF-EO)=(OA-AF)⋅OF=OA⋅OF-FA⋅FO=0，即选项C正确；
对于选项D，由向量加法的平行四边形法则可得：OF+OD=OE，FA+OD-CB=FA+AO+OD=FD，又|OE|≠|FD|，即选项D错误，
故选：BC．
由平面向量数量积的运算及平面向量的线性运算，结合向量加法的平行四边形法则，逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为平面A1ABBB1//平面D1C1D1，而D1C⊂平面D1D1D1，故D 1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C//平面A1ABB，所以A正确；
对于B，因为A1D1//BC，所以A1D1⊂平面BCD1，所以B错误；
对于C，只有AD⊥D1D，而AD与平面BDD1内其他直线不垂直，所以C错误；
对于D，在正方体ABCD-A1-B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D正确；
故选：AD．
根据面面平行的定义可判断A；根据A1D1//BC，可知A1D1⊂平面BCD1，由此可判断B；根据线面垂直的定义和判定定理可判断C；根据面面垂直的判定定理可判断D．
本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的关系，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．
在A中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A成立；
在B中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B不成立；
在C中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C不成立；
在D中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D成立．
故选：AD．
利用方差、中位数、极差、众数的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查方差、中位数、极差、众数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为b=ccsA，
由正弦定理可得，sinB=sinCcsA=sin(A+C)，
所以sinAcsC=0，
因为sinA≠0，
所以csC=0即C=12π，
∵18=csA=ACAB，
由角平分线定理可得，ACAB=CDBD=18，
设AC=x，AB=8x，则BC=37x，CD=73x，
Rt△ACD中，由勾股定理可得，x2+(73x)2=1，
解可得x=34，即AC=34，AB=6，
∵SABC=12×34×6×638=27732，
所以S△ABD=89SABC=374．
故选：ACD．
由已知结合正弦定理及和角公式化简可求C=12π，然后结合锐角三角函数定义可得csA=ACAB，再结合角平分线定理及勾股定理和三角形的面积公式对各选项进行判断即可．
本题综合考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线定理及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档试题．
13.【答案】14
【解析】解：由题意可得，20组随机数中共有426，642，286，846，668表示三次射击全部命中，共5组，
故估计小张三次射击全部命中十环的概率为520=14．
故答案为：14．
20组随机数中共有426，642，286，846，668表示三次射击全部命中，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：因为AN=12AC，所以N为AC的中点，
因为P是BN的中点，
所以NP=12NB=12(AB-AN)=12(AB-12AC)=12AB-14AC，
所以AP=AN+NP=12AC+12AB-14AC=12AB+14AC，
因为AP=mAB+14AC．
所以m=12，
故答案为：12
根据平面向量基本定理结合已知条件将AP用AB,AC表示即可求出m的值．
本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】187
【解析】解：由题意甲的平均值为x-1=665，方差为S12=131，
乙的平均值为x-2=658，方差为S22=208，
则总体平均值为x-=30×66570+40×65870=661，
方差为S2=3070[131+(665-661)2]+4070×[208+(658-661)2]=187．
故答案为：187．
先求出总体均值，再由方差的关系计算求解．
本题考查平均数、方差的定义、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】②④
【解析】
【分析】
利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质的合理运用．
【解答】
解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；
∵PA⊥平面ABC，AE⊥AB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；
∵BC//AD//平面PAD，∴直线BC//平面PAE也不成立，即③不成立．
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④成立．
故答案为：②④．
17.【答案】解：(1)证明：连结BD，
∵E、F分别为AB，BD的中点，∴EF//A1D，
∵EF⊄面A1C1D，A1D⊂面A1C1D，
∴EF//面A1C1D.
(2)解：∵FD⊥AC，FD⊥CC1，
∴FD⊥平面ACC1A1，
∴三棱锥F-A1C1D的体积：
VF-A1C1D=VD-A1C1F=13⋅12⋅22⋅22=43．
【解析】(1)连结BD，推导出EF//A1D，由此能证明EF//面A1C1D.
(2)由FD⊥AC，FD⊥CC1，得FD⊥平面ACC1A1，由此能求出三棱锥F-A1C1D的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，
即(a1,a2)，(a1,b1)，(a2,a1)(a2,b1)，(b1,a1)，(b1,a2).
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
(2)用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1,b1)，(a2,b1)，(b1,a1)，(b1,a2)}．
∴事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=46=23．
【解析】(1)注意先后顺序以及是不放回的抽取；
(2)在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
19.【答案】解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，
“丙获得‘合格证书’”为事件C，
则P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59
从而P(A)
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，
则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：
P(D)=P(ABC-)+P(AB-C)+P(A-BC)=25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．
【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)由題意得：8acsinB=3(a2+c2-b2).即：4sinB=3⋅a2+c2-b22ac，
整理可得：3csB-4sinB=4sinB，
又sinB>0．
所以csB>0，
所以：tanB=sinBcsB=34．
(2)由tanB=34，得sinB=35，
又S=42，a=10，
则S=12acsinB=12×10c×35=42，
解得c=14．
将S=42，a=10，c=14，代入6c2=16S+3(62+c2-a2)中，得：6×142=16×42+3(b2+142-102)，
解得：b=62．
【解析】(1)由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得3csB-4sinB=4sinB，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanB的值．
(2)由同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式可求c的值，即可求解b的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵|xa+b|=3|a-xb|(x>0,x∈R)，
∴x2a2+2xa⋅b+b2=3a2-6xa⋅b+3x2b2；
∵|a|=|b|=1，
∴8xa⋅b=2x2+2⇒a⋅b=14(x+1x)(x>0)；
即f(x)=14(x+1x)(x>0)；
(2)设向量a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|═14(x+1x)≥14×2x⋅1x=12，当且仅当x=1时取等号；
所以：θ∈[0,π]．
∴向量a与b夹角的最大值为：π3．
(3)∵a//b且方向相同，且|a|=|b|=1，
∴a=b；
∴a⋅b=14(x+1x)=1⇒x=2±3．
【解析】(1)利用其模长相等即可整理得到关于x的解析式；
(2)求出夹角的余弦值，借助于余弦的单调性即可求解；
(3)根据条件得到a=b；再代入其数量积即可求解结论．
本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)在线段AB上存在G且为AB中点，使得AF//平面PCG．
证明如下：如图所示，设PC的中点为H，连接FH．
因为FH//CD，所以FH=12CD，AG//CD，AG=12CD，所以FH//AG，FH=AG．
所以四边形AGHF为平行四边形，则AF//GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC．
∴AF//平面PGC．
(2)过F作FM⊥AD于点M，过M作MO⊥AC于点O，连接FO，连MC．
∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，∴FM//PA．
∵F为PD的中点，所以M为AD中点，AM=1，所以FM⊥平面ABCD，而OC⊂平面ABCD．
∴FM⊥OC，又OC⊥MO，FM∩MO=M，FM，OM⊂平面FMO．
所以OC⊥平面FMO，OF⊂平面FMO，∴OC⊥FO，∴∠FOM为二面角F-AC=-D平面角．
∵∠ABC=60°，∴∠DAC=60°，∴MO=ANsin60°．
∴cs∠FOM=3212+(32)2=217．
【解析】(1)取AB中点G，可证AF//平面PCG；
(2)过F作FM⊥AD于点M，过M作MO⊥AC于点O，证明∠FOM为二面角F-AC-D的平面角，在直角三角形中解之可得．
本题主要考查线面平行的判定和二面角的平面角的余弦值的求法，属于中档题．
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