2021-2022学年辽宁省沈阳八十三中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省沈阳八十三中高一（下）月考数学试卷（6月份）

1.  在复平面内，复数，则对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知非零向量，满足，，则向量与向量夹角的余弦值为(    )

A.  B. 0 C.  D.

3.  如图所示，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角，沿倾斜角为的斜坡前进1000米后到达S处，又测得山顶的仰角，则山高BC为(    )

A.  米
B. 1000 米
C.  米
D.  米

4.  在中，已知，那么一定是(    )

A. 等腰直角三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形

5.  砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R，弦长为，则一个“花瓣”的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  设，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  对于下列四个命题，其中正确的命题有(    )

A. 任何复数的模都是非负数
B. 若复数是纯虚数，则实数或
C. ，则这些复数的对应点共圆
D. 的最大值为，最小值为0
 

10.  内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，且，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 的周长为4c
D. 的面积为

11.  已知函数，函数的图像过点，且相邻两零点之间的距离为现将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得曲线的纵坐标缩短到原来的横坐标不变，得到函数的图像，则下列说法正确的有(    )

A.
B. 的单调递增区间为
C. 的图像关于直线对称
D. 当时，的值域为

12.  如图，直线l过的重心三条中线的交点，且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将分成两部分分别为和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是(    )
 

A.  B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为

13.  已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积为，则______.

14.  已知平面向量，与夹角为，，则______.

15.  函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记，则的值是______ .

16.  通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为轨道高度是指卫星到地球表面的距离将地球看作是一个球球心为O，半径为，地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为的地面接收天线仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角，若点A的纬度为北纬，则______.

17.  已知向量
若，求向量与夹角的余弦值；
若，求向量的坐标．

18.  若角的终边上有一点，求值：；
已知，求的值．

19.  在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，且满足______.
求；
已知，的外接圆半径为，求的边AB上的高

20.  已知函数
求函数的单调区间；
当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

21.  某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形如图所示，DC，CB，BA，AE，ED为赛道．根据比赛需要，在赛道设计时需设计AC、AD两条服务通道不考虑宽度，现测得：，，千米，千米．
求服务通道AD的长；
如何设计才能使折线赛道即的长度最大？并求出最大值．

22.  已知，，其中，，且函数在处取得最大值．
求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
在的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像．若在区间，上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
在的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，
，
对应的点位于第二象限．
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：由，
则，
又，
则，，
则向量与向量夹角的余弦值为，
故选：
由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：依题意，过S点作于E，于H，
，米，
米，
依题意，在中，，
，
在中，，
，
在中，



米．
米．
故选：
作出图形，过点S作于E，于H，依题意可求得SE在中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高
本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，
，
，


，即
故一定是等腰三角形，
故选：
由内角和是，据诱导公式消去C，再由两角和与差的公式变换整理，观察整理的结果判断出一定是等腰三角形．
本题考查三角函数的两角与差的正弦公式，利用此公式变换出从本题的变换中可以体会出三角变换的灵活性．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为弓形的圆弧所在圆的半径为R，弦长为，
所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，
所以弓形的面积，
所以一个“花瓣”的面积为
故选：
利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果．
本题考查了扇形面积公式和三角形面积公式，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
由于函数在上单调递增，，
即，故，
故选：
由题意，利用三角恒等变换化简a、b、c，正弦函数的单调性，特殊角的三角函数值，
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，特殊角的三角函数值，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：函数，
在内有且仅有三条对称轴，，
，求得，
故选：
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设，，根据题意得，解得，，，，
，，又、P、B三点共线，，
，当且仅当，
即时，等号成立．
故选：
设，，根据题意得，解此方程组，然后结合A、P、B三点共线可解决此题．
本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：对于A，若，则，故A正确，
对于B，复数是纯虚数，则，解得，故B错误，
对于C，因为，，，，所以这些复数的对应点共圆，均在以原点为圆心，为半径的圆上，故C正确，
对于D，因为为定值，所以其最大为1，最小值为1，故D错误，
故选：
对于A，利用复数模的定义进行判断即可，
对于B，根据纯虚数的定义判断即可，
对于C，分别计算，，和的模，进行判断即可，
对于D，根据复数模的计算公式可判断．
本题主要考查了复数模的计算和纯虚数的定义，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周长为错误；
由上知：，，可得，则的面积为，D正确．
故选：
由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：由题意可得，
因为函数的图像过，
所以，即，
所以，或，，即，，或，，
因为，
所以，
设T为函数的最小正周期，因为函数相邻两零点之间的距离为，
所以，可得，
所以，
所以，则，故A正确；
令，，即，，故的单调递增区间为，，故B不正确；
令，，即，，当时，，故C正确；
当时，，则，故D不正确．
故选：
利用余弦函数的二倍角公式及两角和公式化简函数，根据函数过定点，求解，根据相邻两零点之间的距离为求解，得出函数的解析式，通过函数变换求得的解析式，根据及的解析式即可逐项判断．
本题考查了函数的图象变换，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
 

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到求解三角形面积的问题以及基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题.
利用三角形的重心的性质用向量AB，AC表示出向量AG，再转化为用向量AP，AQ表示出向量AG，然后利用三点共线得出向量AP，AQ的系数和为1，得出，满足的关系式，利用基本不等式以及三角形的面积公式化简即可求解.

【解答】

解：因为G是三角形ABC的重心，
所以，
因为G，P，Q三点共线，所以，则，故B正确，A错误；
又由题意可知
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，又因为，所以，
因为，，
所以四边形PQCB的面积，
所以，
即四边形PQCB的面积与三角形APQ的面积的比值的最大值为，故C正确，D错误.
故答案选：

13.【答案】 

【解析】解：由题可知，
由余弦定理可得，
所以
故答案为：
直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

14.【答案】2 

【解析】解：依题意，，
又与夹角为，，
，即，即，

故答案为：
求出，再将平方后展开即可得到答案．
本题考查平面向量数量积及模的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，函数，，，
P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设，，那么：，过P作AB的垂线交于C，，，，
那么：，，
，，
那么：，，
则：

，
故答案为：
由题意，，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设，，那么：，过P作AB的垂线．即可求，，，，从而求的值．
本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意作出图形如图所示，

O为球心，，，，，
，，
在中，由正弦定理有，，即，
，
，

故答案为：
作出示意图，根据正弦定理得到，由此可得出答案．
本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，设向量与夹角为，
由于，则，
又由，则有，变形可得，
解可得：；
设，
若，且，则，解可得或，
故或 

【解析】根据题意，设向量与夹角为，求出，又由，则有，变形分析可得答案；
根据题意，设，分析可得，解可得x、y的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

18.【答案】解：由于角的终边上有一点，可得，
原式
由，可得，
又，所以，
所以


 

【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解；
由同角三角函数的基本关系可求得，由，利用两角差的正弦公式即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：选择条件①：
因为，
所以由正弦定理得，
即，
故，
又，故，
所以
由
所以，
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
所以，
于是得的面积，
所以，
选择条件②：
因为，
由正弦定理得，
即，
于是，
在中，，
所以，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
于是得的面积，
所以，
选择条件③：
因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
所以
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
于是得的面积，
所以 

【解析】本题主要考查正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式即在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想以及分类讨论思想，属于中档题．
选择条件①：由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得，结合，可求的值，结合范围，可求的值；
由正弦定理，余弦定理得可求ab的值，利用三角形的面积公式即可求解．
选择条件②：由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得，结合，可求，进而可求的值；
由正弦定理，余弦定理得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
选择条件③：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求的值，进而可求的值；
由正弦定理，余弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
 

20.【答案】解：
令，
得
令，
得
故函数的增区间为，
减区间为；
当时，，
可得，所以，
不等式可化为，
有
即恒成立，
只需，又，
所以，当时，取得最大值为，
所以，
故实数m的取值范围为 

【解析】化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性整体代换即可求解；反解出m，由恒成立问题转化为求最值问题即可求解．
本题考查了三角函数的单调性以及最值问题，涉及到不等式的恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，由正弦定理得：
，
在中，由余弦定理，
得，
即，
解得或负值舍去，
所以服务通道AD的长为8千米；
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，
因为，
所以，
所以，即当且仅当时取等号，
即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米． 

【解析】先在中利用正弦定理得到AC长度，再在中，利用余弦定理得到AD即可；
在中利用余弦定理得到，再根据基本等式求解最值即可．
本题考查了解三角形的知识以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，，
所以，
因为在处取得最大值，所以，
即，，当时的最小值为1，
此时，其中；
将的图像上的所有的点向右平移个单位，
可得函数，
再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，
得到的函数，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，
得到函数，
又由，则，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
方程有两个不相等的实数根等价于的图象与直线有两个交点，
如图所示，

则满足，解得，
即实数a的取值范围是
解：设，，
因为点，且满足，
所以，所以，
因为点为函数图像上的一点，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以原不等式的解集为 

【解析】根据向量的数量积的运算，化简函数，结合在处取得最大值，求得的值，得到函数的解析式和最小正周期；
根据三角函数的图象变换，求得，把方程有两个不相等的实数根转化为的图象与直线有两个交点，结合图象列出不等式，即可求解；
设，，根据，求得，结合，即可求解．
本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程的根的关系等三角函数相关知识，属于中档题．